Calcule:
(-raiz3-i)^20

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de l(-raiz3-ir)^20. O conteúdo é a forma polar de um número complexo e a aplicação da fórmula de De Moivre. Para resolver vamos precisar: determinar o módulo e o argumento de z=-raiz3-i, aplicar De Moivre, reduzir o ângulo ao intervalo principal e converter de volta à forma cartesiana.

Passo 2

Calcular o módulo r e o argumento theta de z.
O módulo é
r = raiz(-raiz3)^2 + (-1)^2 = raiz3 + 1 = 2
Para o argumento, costheta = -tfracraiz32 e sintheta = -tfrac12, que correspondem a
theta = 7pi6

Passo 3

Aplicar a fórmula de De Moivre:
z^20 = r^20l(cos(20theta) + isin(20theta)r)

Passo 4

Calcular e reduzir o ângulo 20theta:
20theta = 20cdot7pi6 = 70pi3
Como tfrac70pi3=2picdot11+tfrac4pi3, segue
cos(20theta) = cos4pi3 = -tfrac12
sin(20theta) = sin4pi3 = -tfracraiz32

Passo 5

Substituir em z^20 e simplificar:
z^20 = 2^20l(-tfrac12 - itfracraiz32r) = 2^19(-1 - iraiz3)

Resposta

2^19(-1 - iraiz3)

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