Encontre uma representação em série de potências para a função f abaixo e determine o intervalo de convergência:
f(x)=1x^2+25

Passo 1

O enunciado pede a representação em série de potências de
f(x)=1x^2+25
ao redor de x=0 e o seu intervalo de convergência. O conteúdo principal aqui é usar a fórmula da série geométrica
11+u=sumn=0^infty(-1)^nu^n,válida para |u|<1 á

Passo 2

Reescrevendo f(x) de modo a obter um termo da forma 1/(1+u), temos
f(x)=125;11+tfracx^225
Aqui definimos u=tfracx^225, de forma que f(x)=tfrac125cdot11+u.

Passo 3

Aplicando a série geométrica para 11+u com u=tfracx^225, segue
11+u=sumn=0^infty(-1)^nu^n Longrightarrow f(x)=125sumn=0^infty(-1)^nl(x^225r)^n
Distribuindo o fator tfrac125, obtemos a série de potências em x:
boxed,f(x)=sumn=0^infty(-1)^n,x^2n25^,n+1,

Passo 4

Para a convergência da série geométrica é necessário |u|<1, ou seja
l|tfracx^225r|<1 Long<=ftrightarrow |x|<5

Passo 5

Nos extremos x=pm5 temos u=1 e a série vira
sum(-1)^n1^n/25, que não converge (oscila). Portanto não incluímos os pontos finais.

Resposta

f(x)=sumn=0^infty(-1)^nx^2n25^,n+1, intervalo de convergência: (-5,5) ê

Exercícios relacionados