Calcular integralegral duplaD x e^x y d x d y, em que D é a região plana retangular D=(x, y) in R^2 mid 1 <= x <= 3,0 <= y <= 1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaD x e^x y,dx,dy,
onde D é o retângulo
(x,y)inR^2mid 1<= x<=3,;0<= y<=1.
O conteúdo é integração em múltiplas variáveis e vamos usar o Teorema de Fubini para trocar a ordem de integração e depois fazer integrações simples.

Passo 2

Pelo Teorema de Fubini,
integral duplaD x e^x y,dx,dy =integralx=1^3l(integraly=0^1 x e^x y,dyr)dx

Passo 3

No integral interno, x é constante, então fazemos a substituição u = x y, du = x,dy. Assim,
integral0^1 x e^x y,dy =integralu=0^x e^u,du =l[e^ur]0^x =e^x-1

Passo 4

Agora o integral externo fica
integral1^3(e^x-1),dx =integral1^3e^x,dx ;-;integral1^31,dx =l[e^xr]1^3 ;-;(3-1) =(e^3-e^1)-2

Resposta

e^3-e-2

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