Calcule o valor de sen(47) com precisão de quatro casas decimais.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor de sin(47) com precisão de quatro casas decimais. Como não há indicação de graus, assumimos que o argumento está em radianos. Para isso, vamos usar a periodicidade da função seno e depois aproximar o ângulo reduzido por série de Taylor.

Passo 2

A função seno tem período 2pi. Calculamos
2pi approx 6,2831853
Dividindo 47 por 2pi obtemos
472piapprox7,4809,
ou seja, podemos subtrair 7 períodos de 2pi sem alterar o seno. Definimos o ângulo reduzido
alpha = 47 - 7cdot2pi approx 47 - 7cdot6,2831853 = 3,0177029

Passo 3

Observamos que alphaapprox3,017703 está próximo de piapprox3,141593. Então definimos
de<a = pi - alpha approx 3,141593 - 3,017703 = 0,123890
Como alpha = pi - de<a, temos
sin(alpha) = sin(pi - de<a) = sin(de<a)

Passo 4

Para aproximar sin(de<a) usamos a série de Taylor em torno de zero até o termo de ordem x^5:
sin(de<a)approx de<a - de<a^36 + de<a^5120
Calculamos numericamente
de<a approx 0,123890, de<a^3 approx 0,0019008, de<a^5 approx 0,00002917
Substituindo,
sin(de<a)approx 0,123890 - 0,00190086 + 0,00002917120 approx 0,123573
Arredondando para quatro casas decimais:

Resposta

sin(47)approx0,1236

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