Obtenha uma aproximação com cinco casas decimais de precisão para
.
Passo 1
Beleza, a gente quer encontrar uma aproximação de
com cinco casas decimais de precisão. Para isso, vamos usar a série de Taylor para a função logarítmica natural. A série de Taylor é uma forma de expressar uma função como uma soma infinita de termos, o que nos permite aproximar valores de funções complicadas usando termos mais simples.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a série de Taylor para
em torno de
. A fórmula é:
Essa expressão nos dá uma maneira de calcular
somando e subtraindo termos cada vez menores.
Passo 3
Agora, como queremos encontrar
, substituímos
por
na fórmula:
Simplificando:
Passo 4
Para obter uma aproximação com cinco casas decimais, vamos somar os termos até que a contribuição dos próximos termos seja menor que
. Vamos calcular passo a passo:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
- Terceiro termo:
- Quarto termo:
- Quinto termo:
- Sexto termo:
- Sétimo termo:
- Oitavo termo:
- Nono termo:
- Décimo termo:
Continuamos esse processo até que a diferença entre os termos seja menor que
.
Passo 5
Após continuar adicionando e subtraindo os termos seguintes da série, observamos que a soma começa a se estabilizar e a mudança entre os termos sucessivos fica menor que
. Isso significa que já alcançamos a precisão desejada.
Resposta
Portanto, uma aproximação de
com cinco casas decimais de precisão é: