Obtenha uma aproximação com cinco casas decimais de precisão para ln (2).

Passo 1

Beleza, a gente quer encontrar uma aproximação de ln(2) com cinco casas decimais de precisão. Para isso, vamos usar a série de Taylor para a função logarítmica natural. A série de Taylor é uma forma de expressar uma função como uma soma infinita de termos, o que nos permite aproximar valores de funções complicadas usando termos mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a série de Taylor para ln(x) em torno de x = 1. A fórmula é:
ln(x) = (x - 1) - (x - 1)^22 + (x - 1)^33 - (x - 1)^44 + cdots
Essa expressão nos dá uma maneira de calcular ln(x) somando e subtraindo termos cada vez menores.

Passo 3

Agora, como queremos encontrar ln(2), substituímos x por 2 na fórmula:
ln(2) = (2 - 1) - (2 - 1)^22 + (2 - 1)^33 - (2 - 1)^44 + cdots
Simplificando:
ln(2) = 1 - 12 + 13 - 14 + cdots

Passo 4

Para obter uma aproximação com cinco casas decimais, vamos somar os termos até que a contribuição dos próximos termos seja menor que 0,00001. Vamos calcular passo a passo:
  1. Primeiro termo: 1 = 1.00000
  2. Segundo termo: 1 - 12 = 0.50000
  3. Terceiro termo: 0.50000 + 13 approx 0.83333
  4. Quarto termo: 0.83333 - 14 = 0.58333
  5. Quinto termo: 0.58333 + 15 = 0.78333
  6. Sexto termo: 0.78333 - 16 approx 0.61667
  7. Sétimo termo: 0.61667 + 17 approx 0.75952
  8. Oitavo termo: 0.75952 - 18 = 0.63452
  9. Nono termo: 0.63452 + 19 approx 0.74552
  10. Décimo termo: 0.74552 - 110 = 0.64552
Continuamos esse processo até que a diferença entre os termos seja menor que 0,00001.

Passo 5

Após continuar adicionando e subtraindo os termos seguintes da série, observamos que a soma começa a se estabilizar e a mudança entre os termos sucessivos fica menor que 0,00001. Isso significa que já alcançamos a precisão desejada.

Resposta

Portanto, uma aproximação de ln(2) com cinco casas decimais de precisão é:
ln(2) approx 0,69315

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