Calcule o valor de cos (47) com precisão de quatro casas decimais.

Passo 1

O enunciado pede para calcular cos(47) com precisão de quatro casas decimais. Aqui o argumento 47 está em radianos, então vamos usar a periodicidade da função cosseno e depois um desenvolvimento em série de Taylor para obter a aproximação.

Passo 2

Usamos a periodicidade de 2pi:
47 equiv 47 - 7cdot2pi pmod2pi
Como 2pi approx 6,283185307, temos
7cdot2pi approx 7times6,283185307 = 43,982297149,
portanto
47 - 7cdot2pi approx 3,017702851

Passo 3

Observamos que
3,017702851 = pi - 0,123889803,
pois piapprox3,141592654. Como cos(pi - x) = -cos(x), segue
cos(47) = cosl(pi - 0,123889803r) = -cosl(0,123889803r)

Passo 4

Para aproximar cos(x) em x=0,123889803 com quatro casas decimais, usamos a série de Taylor até o termo em x^6:
cos(x)approx 1 - x^22! + x^44! - x^66!
Calculamos
x = 0,123889803, x^2 approx 0,015350944, x^4 approx 0,000235708, x^6 approx 0,000003617

Passo 5

Substituindo na série:
cos(x)approx 1 - 0,0153509442 + 0,00023570824 - 0,000003617720
Isso dá numericamente
cos(0,123889803)approx 1 -0,007675472 +0,000009821 -0,000000005 approx 0,992334345
Então
cos(47) = -cos(0,123889803)approx -0,992334345

Resposta

-0,9923 (quatro casas decimais)

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