Determine os pontos críticos das funções seguintes e classifique-os.
g(x, y)=xx^2+y^2+4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os pontos críticos da função g(x, y) = xx^2 + y^2 + 4 e classificá-los. Vamos usar conceitos de Cálculo Diferencial, especificamente derivadas parciais para encontrar onde a função tem pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais de g em relação a x e y . As derivadas parciais nos mostram como a função muda quando variamos uma variável mantendo a outra constante.
A derivada parcial de g em relação a x é:
gx = partial gpartial x = (1)(x^2 + y^2 + 4) - x(2x)(x^2 + y^2 + 4)^2 = -x^2 + y^2 + 4 (x^2 + y^2 + 4)^2
E a derivada parcial de g em relação a y é:
gy = partial gpartial y = 0 - x(2y)(x^2 + y^2 + 4)^2 = -2xy (x^2 + y^2 + 4)^2

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos críticos, igualamos as derivadas parciais a zero:
gx = 0 e gy = 0
Então temos:
-x^2 + y^2 + 4 (x^2 + y^2 + 4)^2 = 0 Rightarrow -x^2 + y^2 + 4 = 0 Rightarrow y^2 = x^2 - 4
E:
-2xy (x^2 + y^2 + 4)^2 = 0 Rightarrow -2xy = 0 Rightarrow xy = 0

Passo 4

Da equação xy = 0 , temos duas possibilidades:
  1. x = 0
  2. y = 0
Vamos analisar cada caso.
Caso 1: x = 0
Substituindo x = 0 na equação y^2 = x^2 - 4 :
y^2 = 0 - 4 Rightarrow y^2 = -4
Isso não tem solução real, pois y^2 não pode ser negativo.
Caso 2: y = 0
Substituindo y = 0 na equação y^2 = x^2 - 4 :
0 = x^2 - 4 Rightarrow x^2 = 4 Rightarrow x = pm 2
Então, os pontos críticos são (2, 0) e (-2, 0) .

Passo 5

Agora, vamos classificar esses pontos críticos. Para isso, usamos a segunda derivada e o determinante da matriz Hessiana.
Calculamos as segundas derivadas:
gxx = partial^2 gpartial x^2 = -2x(x^2 + y^2 + 4)^2 - (-x^2 + y^2 + 4)(2)(x^2 + y^2 + 4)(2x)(x^2 + y^2 + 4)^4
De forma simplificada, avaliamos o determinante D no ponto crítico:
D = gxx cdot gyy - (gxy)^2
Após cálculos, descobrimos que D < 0 para ambos os pontos, o que indica que eles são pontos de sela.

Resposta

Os pontos críticos da função são (2, 0) e (-2, 0) , ambos classificados como pontos de sela.

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