Determine os pontos críticos das funções seguintes e classifique-os.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os pontos críticos da função
e classificá-los. Vamos usar conceitos de Cálculo Diferencial, especificamente derivadas parciais para encontrar onde a função tem pontos críticos.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
. As derivadas parciais nos mostram como a função muda quando variamos uma variável mantendo a outra constante.
A derivada parcial de
em relação a
é:
E a derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, para encontrar os pontos críticos, igualamos as derivadas parciais a zero:
Então temos:
E:
Passo 4
Da equação
, temos duas possibilidades:
Vamos analisar cada caso.
Caso 1:
Substituindo
na equação
:
Isso não tem solução real, pois
não pode ser negativo.
Caso 2:
Substituindo
na equação
:
Então, os pontos críticos são
e
.
Passo 5
Agora, vamos classificar esses pontos críticos. Para isso, usamos a segunda derivada e o determinante da matriz Hessiana.
Calculamos as segundas derivadas:
De forma simplificada, avaliamos o determinante
no ponto crítico:
Após cálculos, descobrimos que
para ambos os pontos, o que indica que eles são pontos de sela.
Resposta
Os pontos críticos da função são
e
, ambos classificados como pontos de sela.