1. Calcular pela regra do trapézio pela integral
\int_{0}^{4} \ln (x+1) d x
usando 5 pontos e sabendo que:
x 0 1 2 3 4
\ln (x+1) 0 0,693 1,1 1,387 1,61

Passo 1

O que o problema pede e o que nos foi dado.
  • Pede-se aproximar a integral
\int_{0}^{4} \ln(x+1)\,dx
usando a regra do trapézio composta com 5 pontos.
  • Dos pontos e valores fornecidos (peguei estes números da tabela do enunciado):
\begin{array}{c|ccccc} x & 0 & 1 & 2 & 3 & 4\\hline \ln(x+1) & 0 & 0,693 & 1,1 & 1,387 & 1,61 \end{array}
  • Observação importante: 5 pontos equivalem a n=4 subintervalos (porque n= número de subintervalos = número de pontos -1).

Passo 2

Apresentando a regra do trapézio composta e explicando cada termo.
A regra do trapézio composta para aproximar
\int_{a}^{b} f(x)\,dx
com n subintervalos de mesmo comprimento h é
\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{h}{2}\Big(f_0 + 2\sum_{i=1}^{n-1} f_i + f_n\Big).
Aqui:
  • a e b são os limites de integração (aqui a=0, b=4).
  • n é o número de subintervalos (aqui n=4).
  • h é o comprimento de cada subintervalo, dado por
h=\frac{b-a}{n}.
  • f_i é o valor da função no ponto x_i=a+i h; em particular f_0=f(a) e f_n=f(b).
    Intuição rápida: cada subintervalo é aproximado por um trapézio cuja área é \dfrac{h}{2}(f_i+f_{i+1}) e somamos todas essas áreas.

Passo 3

Calcular h e identificar os f_i a usar.
  • Como a=0, b=4 e n=4,
h=\frac{4-0}{4}=1.
  • Os valores f_i=\ln(x_i+1) foram dados na tabela:
f_0=0,\quad f_1=0,693,\quad f_2=1,1,\quad f_3=1,387,\quad f_4=1,61.

Passo 4

Aplicar a fórmula e calcular passo a passo.
Primeiro calcule a soma dos termos interiores:
\sum_{i=1}^{3} f_i = f_1+f_2+f_3 = 0,693 + 1,1 + 1,387.
Fazendo a soma:
0,693 + 1,1 = 1,793,
1,793 + 1,387 = 3,18.
Agora aplique a fórmula da regra do trapézio composta:
\int_{0}^{4}\ln(x+1)\,dx \approx \frac{h}{2}\Big(f_0 + 2\sum_{i=1}^{3} f_i + f_4\Big).
Substituindo h=1 e os valores:
\frac{1}{2}\Big(0 + 2\cdot 3,18 + 1,61\Big).
Calcule dentro dos parênteses:
2\cdot 3,18 = 6,36,
0 + 6,36 + 1,61 = 7,97.
Finalmente:
\frac{1}{2}\cdot 7,97 = 3,985.

Passo 5

Interpretação final e dica prática para a prova.
  • A aproximação obtida pela regra do trapézio com as 5 amostras dadas é 3,985.
  • Receita rápida para a prova: identificar n (pontos-1), calcular h, somar os valores interiores e aplicar \dfrac{h}{2}(f_0+2\sum f_i+f_n). Faça as somas com calma e cheque arredondamentos: aqui os valores na tabela já estão arredondados, então o resultado tem essa precisão.
  • Motivação: dá para fazer tudo à mão sem calculadora quando h é simples (aqui h=1) — só somas e multiplicações.

Passo 6

(Verificação extra — útil para entender erro) Valor exato e erro aproximado.
A primitiva de \ln(x+1) é
(x+1)\ln(x+1)-x + C.
Avalia-se nos limites:
\int_{0}^{4}\ln(x+1)\,dx = \big[(x+1)\ln(x+1)-x\big]_{0}^{4}.
No extremo superior:
(4+1)\ln 5 - 4 = 5\ln 5 - 4 \approx 5\cdot 1,609438 - 4 = 4,04719\ldots
No extremo inferior obtém-se 0. Logo o valor exato é aproximadamente 4,04719. A diferença (erro) entre o exato e a aproximação é
4,04719 - 3,985 \approx 0,06219,
ou seja, nosso método subestimou por cerca de 0,062. Isso é um erro pequeno dado os arredondamentos iniciais.

Resposta

3,985

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