Seja a matriz:
A=\left[\begin{array}{ccc} 0,001 & 2,000 & 3,000 \\\\ -1,000 & 3,712 & 4,623 \\\\ -2,000 & 1,072 & 5,643 \end{array}\right]
Obtenha a decomposição de Crout da matriz A :
a. Sem pivoteamento;
b. Com pivoteamento parcial, utilizando base decimal e aritmética de quatro dígitos. Compare os resultados.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix} 0,001 & 2,000 & 3,000\\[2pt] -1,000 & 3,712 & 4,623\\[2pt] -2,000 & 1,072 & 5,643 \end{pmatrix}
e pede duas coisas:
  • (a) Obter a decomposição de Crout de A sem pivoteamento;
  • (b) Obter a decomposição de Crout de A com pivoteamento parcial, usando aritmética decimal de quatro dígitos (ou seja, arredondando cada resultado para quatro algarismos significativos ao longo das operações).
    Lista das informações relevantes dadas:
  • A matriz A é 3\times3 com entradas explícitas (use vírgula como separador decimal).
  • Para (b) devo aplicar pivoteamento parcial (troca de linhas escolhendo o maior pivô em módulo na coluna atual) e usar aritmética em quatro dígitos significativos durante os cálculos.
    A partir daqui começa a resolução.]

Passo 2

O que é a decomposição de Crout e as fórmulas que vou usar (explicação didática curta):
  • A decomposição de Crout escreve A=LU, onde L é triangular inferior com diagonais não unitárias e U é triangular superior com a diagonal igual a 1 (ou seja U_{ii}=1 para todo i).
  • Para uma matriz n\times n, as fórmulas iterativas (Crout) são, para k=1,\dots,n: U_{k,k}=1,
L_{i,k}=A_{i,k}-\sum_{p=1}^{k-1}L_{i,p}U_{p,k}\quad\text{para } i=k,\dots,n,
U_{k,j}=\dfrac{A_{k,j}-\sum_{p=1}^{k-1}L_{k,p}U_{p,j}}{L_{k,k}}\quad\text{para } j=k+1,\dots,n.
  • Interpretação das variáveis:
    • L_{i,k} é o elemento da linha i, coluna k da matriz L.
    • U_{p,k} é o elemento da linha p, coluna k da matriz U.
    • A soma \sum_{p=1}^{k-1} acumula contribuições já computadas nas etapas anteriores.
  • No pivoteamento parcial, antes de iniciar as fórmulas no passo k escolhe-se a linha r\ge k que maximiza |\tilde A_{r,k}| (onde \tilde A é a matriz já atualizada pelas etapas anteriores) e troca-se a linha k com a r; isso evita dividir por pivôs muito pequenos. Em notação de álgebra, faz-se uma permutação de linhas representada por uma matriz P e obtém-se PA=LU.
Agora aplico essas fórmulas ao caso concreto.

Passo 3

Decomposição de Crout sem pivoteamento (parte a). Vou aplicar as fórmulas diretamente na ordem k=1,2,3. Não arredondo aqui além da precisão usual, e sempre escrevo os números com vírgula decimal.
k=1:
L_{1,1}=A_{1,1}=0,001,
L_{2,1}=A_{2,1}=-1,000,\qquad L_{3,1}=A_{3,1}=-2,000.
Como U_{1,1}=1, calculo
U_{1,2}=\frac{A_{1,2}}{L_{1,1}}=\frac{2,000}{0,001}=2000,
U_{1,3}=\frac{A_{1,3}}{L_{1,1}}=\frac{3,000}{0,001}=3000.
k=2:
L_{2,2}=A_{2,2}-L_{2,1}U_{1,2}=3,712-(-1,000)\cdot 2000=3,712+2000=2003,712.
L_{3,2}=A_{3,2}-L_{3,1}U_{1,2}=1,072-(-2,000)\cdot 2000=1,072+4000=4001,072.
Agora
U_{2,3}=\frac{A_{2,3}-L_{2,1}U_{1,3}}{L_{2,2}} =\frac{4,623-(-1,000)\cdot 3000}{2003,712} =\frac{3004,623}{2003,712}\approx 1,499528.
k=3:
L_{3,3}=A_{3,3}-L_{3,1}U_{1,3}-L_{3,2}U_{2,3}.
Calculemos as parcelas:
L_{3,1}U_{1,3}=(-2,000)\cdot 3000=-6000,
L_{3,2}U_{2,3}=4001,072\cdot 1,499528\approx 5999,719494.
Portanto
L_{3,3}=5,643-(-6000)-5999,719494=5,643+6000-5999,719494\approx 5,923505984.
Assim os fatores L e U (sem pivoteamento) são:
L=\begin{pmatrix} 0,001 & 0 & 0\\[2pt] -1,000 & 2003,712 & 0\\[2pt] -2,000 & 4001,072 & 5,923506 \end{pmatrix}, \qquad U=\begin{pmatrix} 1 & 2000 & 3000\\[2pt] 0 & 1 & 1,499528\\[2pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
(Arredondei a última entrada de L para 6 casas decimais para manter legibilidade.)]

Passo 4

Explicação rápida sobre por que este resultado pode ser numericamente ruim: Repare que L_{1,1}=0,001 é muito pequeno; isso gera entradas muito grandes em U (por ex. U_{1,2}=2000), e essas grandes multiplicações amplificam erros de arredondamento em cálculos de máquina. Por isso costuma-se usar pivoteamento parcial para evitar dividir por pivôs pequenos.

Passo 5

Agora faço a decomposição de Crout com pivoteamento parcial e usando aritmética decimal de quatro dígitos significativos (parte b). Regras adotadas:
  • Em cada operação (adição, multiplicação, divisão) eu arredondarei o resultado imediato para 4 algarismos significativos.
  • No pivoteamento parcial (etapa k) escolho a linha com maior |\cdot| na coluna k entre linhas k a n e troco linhas se necessário. Registro a permutação P correspondente.
  • O objetivo é obter P A = L U com L e U calculadas com aritmética de 4 dígitos.

Passo 6

Aplicação prática (pivoteamento parcial + aritmética 4 dígitos).
Determino pivô para k=1: os módulos da coluna 1 são |0,001|=0,001,\;| -1,000|=1,000,\;| -2,000|=2,000. O maior em módulo é 2,000 (linha 3), logo troco a linha 1 com a linha 3. A permutação P é a que troca 1 e 3:
P=\begin{pmatrix}0&0&1\\[2pt]0&1&0\\[2pt]1&0&0\end{pmatrix}.
Após a troca, trabalho com a matriz PA cujas linhas são (em ordem): linha antiga 3, linha 2, linha 1:
PA=\begin{pmatrix} -2,000 & 1,072 & 5,643\\[2pt] -1,000 & 3,712 & 4,623\\[2pt] 0,001 & 2,000 & 3,000 \end{pmatrix}.
k=1 (com aritmética 4 dígitos):
L_{1,1}=-2,000\quad(\text{arred. 4 dígitos}),í
L_{2,1}=-1,000,\qquad L_{3,1}=0,001.
U_{1,2}=\frac{1,072}{-2,000}=-0,5360\quad(\text{arred. 4 sig.}),
U_{1,3}=\frac{5,643}{-2,000}=-2,8215\rightarrow -2,822\quad(\text{4 sig.}).
k=2:
Calculo L_{2,2}=A_{2,2}-L_{2,1}U_{1,2}.
  • Primeiro L_{2,1}U_{1,2}=(-1,000)\cdot(-0,5360)=0,5360 (produto já em 4 dígitos).
  • Então L_{2,2}=3,712-0,5360=3,176 (arredondei para 4 sig. como 3,176).
Calculo L_{3,2}=A_{3,2}-L_{3,1}U_{1,2}.
  • L_{3,1}U_{1,2}=0,001\cdot(-0,5360)=-0,0005360.
  • L_{3,2}=2,000-(-0,0005360)=2,0005360\rightarrow arred. 4 sig.: 2,001 (porque os quatro algarismos significativos são 2,0,0,0 e a casa seguinte é 5, arredonda para 2,001).
Agora U_{2,3}=\dfrac{A_{2,3}-L_{2,1}U_{1,3}}{L_{2,2}}.
  • L_{2,1}U_{1,3}=(-1,000)\cdot(-2,822)=2,822.
  • Numerador =4,623-2,822=1,801.
  • Dividindo: 1,801/3,176\approx 0,566978\rightarrow arred. 4 sig.: 0,5670.
k=3:
U_{3,3}=1,
L_{3,3}=A_{3,3}-L_{3,1}U_{1,3}-L_{3,2}U_{2,3}.
Calculemos cada termo com 4 dígitos:
  • L_{3,1}U_{1,3}=0,001\cdot(-2,822)=-0,002822 (4 dígitos).
  • L_{3,2}U_{2,3}=2,001\cdot 0,5670=1,134567\rightarrow arred. 4 sig. é 1,135.
  • Então L_{3,3}=3,000-(-0,002822)-1,135=3,000+0,002822-1,135=1,867822\rightarrow arred. 4 sig.: 1,868.
Portanto, usando pivoteamento parcial e aritmética de quatro dígitos, os fatores (para PA) ficam:
L=\begin{pmatrix} -2,000 & 0 & 0\\[2pt] -1,000 & 3,176 & 0\\[2pt] 0,001 & 2,001 & 1,868 \end{pmatrix}, \qquad U=\begin{pmatrix} 1 & -0,5360 & -2,822\\[2pt] 0 & 1 & 0,5670\\[2pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},
com a permutação
P=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\[2pt] 0 & 1 & 0\\[2pt] 1 & 0 & 0 \end{pmatrix},
de modo que PA \approx LU quando a aritmética é feita com quatro dígitos significativos.]

Passo 7

Comparação e interpretação final (didática e motivacional):
  • Sem pivoteamento (parte a) apareceu um pivô muito pequeno L_{1,1}=0,001 e daí valores muito grandes em U (por exemplo U_{1,2}=2000, U_{1,3}=3000). Esse crescimento pode amplificar erros de arredondamento na prática numérica e tornar a fatoração instável em aritmética finita.
  • Com pivoteamento parcial e usando 4 algarismos significativos (parte b) a troca de linhas evitou o pivô pequeno: o pivô escolhido foi -2,000 (isto é, -2{,}000 na notação com vírgula decimal), o que resultou em fatores de tamanho moderado e, portanto, em melhor comportamento numérico (valores de L e U com magnitude bem controlada).
  • Como observação prática: ao resolver sistemas Ax=b por fatoração PA=LU e resolução em duas etapas, o pivoteamento parcial costuma ser essencial em aritmética finita para evitar grandes erros de arredondamento.
  • Você conseguiu! Mesmo que pareça muito cálculo, o algoritmo de Crout segue passos fixos e com pivoteamento fica bem mais seguro numericamente.

Resposta

(a) Sem pivoteamento:
L=\begin{pmatrix} 0,001 & 0 & 0\\[2pt] -1,000 & 2003,712 & 0\\[2pt] -2,000 & 4001,072 & 5,923506 \end{pmatrix}, \qquad U=\begin{pmatrix} 1 & 2000 & 3000\\[2pt] 0 & 1 & 1,499528\\[2pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
(b) Com pivoteamento parcial e aritmética decimal de quatro dígitos (fatores tais que PA=LU):
P=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\[2pt] 0 & 1 & 0\\[2pt] 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad L=\begin{pmatrix} -2,000 & 0 & 0\\[2pt] -1,000 & 3,176 & 0\\[2pt] 0,001 & 2,001 & 1,868 \end{pmatrix}, \qquad U=\begin{pmatrix} 1 & -0,5360 & -2,822\\[2pt] 0 & 1 & 0,5670\\[2pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.]

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