Obtenha a decomposição de Crout da matriz A :
a. Sem pivoteamento;
b. Com pivoteamento parcial, utilizando base decimal e aritmética de quatro dígitos. Compare os resultados.
(a) Obter a decomposição de Crout de A sem pivoteamento;
(b) Obter a decomposição de Crout de A com pivoteamento parcial, usando aritmética decimal de quatro dígitos (ou seja, arredondando cada resultado para quatro algarismos significativos ao longo das operações).
Lista das informações relevantes dadas:
A matriz A é 3\times3 com entradas explícitas (use vírgula como separador decimal).
Para (b) devo aplicar pivoteamento parcial (troca de linhas escolhendo o maior pivô em módulo na coluna atual) e usar aritmética em quatro dígitos significativos durante os cálculos.
A partir daqui começa a resolução.]
Passo 2
O que é a decomposição de Crout e as fórmulas que vou usar (explicação didática curta):
A decomposição de Crout escreve A=LU, onde L é triangular inferior com diagonais não unitárias e U é triangular superior com a diagonal igual a 1 (ou seja U_{ii}=1 para todo i).
Para uma matriz n\times n, as fórmulas iterativas (Crout) são, para k=1,\dots,n:U_{k,k}=1,
L_{i,k} é o elemento da linha i, coluna k da matriz L.
U_{p,k} é o elemento da linha p, coluna k da matriz U.
A soma \sum_{p=1}^{k-1} acumula contribuições já computadas nas etapas anteriores.
No pivoteamento parcial, antes de iniciar as fórmulas no passo k escolhe-se a linha r\ge k que maximiza |\tilde A_{r,k}| (onde \tilde A é a matriz já atualizada pelas etapas anteriores) e troca-se a linha k com a r; isso evita dividir por pivôs muito pequenos. Em notação de álgebra, faz-se uma permutação de linhas representada por uma matriz P e obtém-se PA=LU.
Agora aplico essas fórmulas ao caso concreto.
Passo 3
Decomposição de Crout sem pivoteamento (parte a). Vou aplicar as fórmulas diretamente na ordem k=1,2,3. Não arredondo aqui além da precisão usual, e sempre escrevo os números com vírgula decimal.
(Arredondei a última entrada de L para 6 casas decimais para manter legibilidade.)]
Passo 4
Explicação rápida sobre por que este resultado pode ser numericamente ruim: Repare que L_{1,1}=0,001 é muito pequeno; isso gera entradas muito grandes em U (por ex. U_{1,2}=2000), e essas grandes multiplicações amplificam erros de arredondamento em cálculos de máquina. Por isso costuma-se usar pivoteamento parcial para evitar dividir por pivôs pequenos.
Passo 5
Agora faço a decomposição de Crout com pivoteamento parcial e usando aritmética decimal de quatro dígitos significativos (parte b). Regras adotadas:
Em cada operação (adição, multiplicação, divisão) eu arredondarei o resultado imediato para 4 algarismos significativos.
No pivoteamento parcial (etapa k) escolho a linha com maior |\cdot| na coluna k entre linhas k a n e troco linhas se necessário. Registro a permutação P correspondente.
O objetivo é obter P A = L U com L e U calculadas com aritmética de 4 dígitos.
Determino pivô para k=1: os módulos da coluna 1 são |0,001|=0,001,\;| -1,000|=1,000,\;| -2,000|=2,000. O maior em módulo é 2,000 (linha 3), logo troco a linha 1 com a linha 3. A permutação P é a que troca 1 e 3:
Primeiro L_{2,1}U_{1,2}=(-1,000)\cdot(-0,5360)=0,5360 (produto já em 4 dígitos).
Então L_{2,2}=3,712-0,5360=3,176 (arredondei para 4 sig. como 3,176).
Calculo L_{3,2}=A_{3,2}-L_{3,1}U_{1,2}.
L_{3,1}U_{1,2}=0,001\cdot(-0,5360)=-0,0005360.
L_{3,2}=2,000-(-0,0005360)=2,0005360\rightarrow arred. 4 sig.: 2,001 (porque os quatro algarismos significativos são 2,0,0,0 e a casa seguinte é 5, arredonda para 2,001).
de modo que PA \approx LU quando a aritmética é feita com quatro dígitos significativos.]
Passo 7
Comparação e interpretação final (didática e motivacional):
Sem pivoteamento (parte a) apareceu um pivô muito pequeno L_{1,1}=0,001 e daí valores muito grandes em U (por exemplo U_{1,2}=2000, U_{1,3}=3000). Esse crescimento pode amplificar erros de arredondamento na prática numérica e tornar a fatoração instável em aritmética finita.
Com pivoteamento parcial e usando 4 algarismos significativos (parte b) a troca de linhas evitou o pivô pequeno: o pivô escolhido foi -2,000 (isto é, -2{,}000 na notação com vírgula decimal), o que resultou em fatores de tamanho moderado e, portanto, em melhor comportamento numérico (valores de L e U com magnitude bem controlada).
Como observação prática: ao resolver sistemas Ax=b por fatoração PA=LU e resolução em duas etapas, o pivoteamento parcial costuma ser essencial em aritmética finita para evitar grandes erros de arredondamento.
Você conseguiu! Mesmo que pareça muito cálculo, o algoritmo de Crout segue passos fixos e com pivoteamento fica bem mais seguro numericamente.