- Aplique a regra do trapézio para
e calcule:
Passo 1
O enunciado pede que se aplique a regra do trapézio com
para aproximar a integral
Informações dadas e o que vamos usar:
- Limites de integração:
e . - Número de subintervalos:
. - Função a integrar:
.
A nossa tarefa é calcular a aproximação pela regra do trapézio com esses dados.
Passo 2
Vou explicar a regra do trapézio de forma didática.
A ideia: dividir o intervalo
em
subintervalos de largura igual
. Em cada subintervalo aproximamos a curva por uma reta (o segmento que une os extremos) — geometricamente isso é equivalente a aproximar a área sob a curva por uma soma de trapézios.
Fórmula (regra do trapézio composta):
onde
Explicando cada símbolo:
-
é a largura de cada subintervalo. -
são os pontos de malha (nós). -
é o valor da função no nó . - O termo
aparece porque cada nó interno é usado em dois trapézios.
Passo 3
Calcular
:
Passo 4
Determinar os nós
. Usando
temos (é útil escrever também como fração):
Passo 5
Calcular
para cada nó. Para integrar sem calculadora, usa-se aproximações cuidadosas (um método prático é Newton–Raphson para raízes quadradas). Vou mostrar rapidamente a ideia do Newton–Raphson para
: iterar
até convergir. Ex.: para
uma boa aproximação inicial
já converge rapidinho.
Os valores aproximados (arredondados em 6 casas decimais) são:
(Se na prova não for possível calcular tantas casas, chegar a 3 ou 4 casas decimais já dá uma boa aproximação.)
Passo 6
Agora aplicamos a fórmula do trapézio. Primeiro somamos os valores internos:
Aplicando a fórmula:
Passo 7
Para termos referência, o valor exato da integral pode ser obtido pela antiderivada:
logo
A aproximação pelo trapézio com
deu
, portanto o erro aproximado é cerca de
(o método subestimou levemente aqui).
Resposta
4{,}662857