1. Aplique a regra do trapézio para n=7 e calcule:
\int_{1}^{4} \sqrt{x} d x

Passo 1

O enunciado pede que se aplique a regra do trapézio com n=7 para aproximar a integral
\int_{1}^{4}\sqrt{x}\,dx.
Informações dadas e o que vamos usar:
  • Limites de integração: a=1 e b=4.
  • Número de subintervalos: n=7.
  • Função a integrar: f(x)=\sqrt{x}.
    A nossa tarefa é calcular a aproximação pela regra do trapézio com esses dados.

Passo 2

Vou explicar a regra do trapézio de forma didática.
A ideia: dividir o intervalo [a,b] em n subintervalos de largura igual h. Em cada subintervalo aproximamos a curva por uma reta (o segmento que une os extremos) — geometricamente isso é equivalente a aproximar a área sob a curva por uma soma de trapézios.
Fórmula (regra do trapézio composta):
T_n=\frac{h}{2}\Big(f(x_0)+2\sum_{i=1}^{n-1}f(x_i)+f(x_n)\Big),
onde
h=\frac{b-a}{n},\qquad x_i=a+i h,\; i=0,1,\dots,n.
Explicando cada símbolo:
  • h é a largura de cada subintervalo.
  • x_0,x_1,\dots,x_n são os pontos de malha (nós).
  • f(x_i) é o valor da função no nó x_i.
  • O termo 2\sum_{i=1}^{n-1} f(x_i) aparece porque cada nó interno é usado em dois trapézios.

Passo 3

Calcular h:
h=\frac{b-a}{n}=\frac{4-1}{7}=\frac{3}{7}\approx0,4285714286.

Passo 4

Determinar os nós x_i. Usando x_i=1+i\cdot\frac{3}{7} temos (é útil escrever também como fração):
\begin{aligned} x_0&=1=\frac{7}{7},\\\ x_1&=1+\frac{3}{7}=\frac{10}{7}\approx1{,}428571,\\\ x_2&=1+\frac{6}{7}=\frac{13}{7}\approx1{,}857143,\\\ x_3&=1+\frac{9}{7}=\frac{16}{7}\approx2{,}285714,\\\ x_4&=1+\frac{12}{7}=\frac{19}{7}\approx2{,}714286,\\\ x_5&=1+\frac{15}{7}=\frac{22}{7}\approx3{,}142857,\\\ x_6&=1+\frac{18}{7}=\frac{25}{7}\approx3{,}571429,\\\ x_7&=1+\frac{21}{7}=\frac{28}{7}=4. \end{aligned}

Passo 5

Calcular f(x_i)=\sqrt{x_i} para cada nó. Para integrar sem calculadora, usa-se aproximações cuidadosas (um método prático é Newton–Raphson para raízes quadradas). Vou mostrar rapidamente a ideia do Newton–Raphson para y=\sqrt{a}: iterar
y_{k+1}=\frac{1}{2}\Big(y_k+\frac{a}{y_k}\Big)
até convergir. Ex.: para a=\tfrac{10}{7} uma boa aproximação inicial y_0=1{,}2 já converge rapidinho.
Os valores aproximados (arredondados em 6 casas decimais) são:
\begin{aligned} f(x_0)&=\sqrt{1}=1{,}000000,\\\ f(x_1)&=\sqrt{\tfrac{10}{7}}\approx1{,}195229,\\\ f(x_2)&=\sqrt{\tfrac{13}{7}}\approx1{,}362770,\\\ f(x_3)&=\sqrt{\tfrac{16}{7}}\approx1{,}511858,\\\ f(x_4)&=\sqrt{\tfrac{19}{7}}\approx1{,}647509,\\\ f(x_5)&=\sqrt{\tfrac{22}{7}}\approx1{,}772811,\\\ f(x_6)&=\sqrt{\tfrac{25}{7}}\approx1{,}889822,\\\ f(x_7)&=\sqrt{4}=2{,}000000. \end{aligned}
(Se na prova não for possível calcular tantas casas, chegar a 3 ou 4 casas decimais já dá uma boa aproximação.)

Passo 6

Agora aplicamos a fórmula do trapézio. Primeiro somamos os valores internos:
\sum_{i=1}^{6} f(x_i)\approx 1{,}195229+1{,}362770+1{,}511858+1{,}647509+1{,}772811+1{,}889822\approx9{,}379999.
Aplicando a fórmula:
\begin{aligned} T_7&=\frac{h}{2}\Big(f(x_0)+2\sum_{i=1}^{6}f(x_i)+f(x_7)\Big)\\[6pt] &=\frac{3/7}{2}\Big(1{,}000000+2\cdot 9{,}379999+2{,}000000\Big)\\[6pt] &=\frac{3}{14}\Big(1+18{,}759998+2\Big)=\frac{3}{14}\cdot 21{,}759998\\[6pt] &=\frac{3\cdot 21{,}759998}{14}\approx\frac{65{,}279994}{14}\approx4{,}662857. \end{aligned}]

Passo 7

Para termos referência, o valor exato da integral pode ser obtido pela antiderivada:
\int \sqrt{x}\,dx=\frac{2}{3}x^{3/2},
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\int_{1}^{4}\sqrt{x}\,dx=\frac{2}{3}\big(4^{3/2}-1^{3/2}\big)=\frac{2}{3}(8-1)=\frac{14}{3}\approx4{,}6666667.
A aproximação pelo trapézio com n=7 deu T_7\approx4{,}662857, portanto o erro aproximado é cerca de -0{,}00381 (o método subestimou levemente aqui).

Resposta

4{,}662857

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