Calcular o rotacional do campo vetorial das funções a seguir:
F(x, y, z)=(x y-y z^2, x y^2 z, 2 x^2 y-z^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é para calcular o rotacional (também conhecido como curl) do campo vetorial dado por F(x, y, z) = (x y - y z^2, x y^2 z, 2 x^2 y - z^2) . Isso faz parte do conteúdo de cálculo vetorial, onde vamos precisar usar a definição do rotacional para encontrar a resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o rotacional de um campo vetorial. Se temos F = (P, Q, R) , o rotacional de F , denotado por nabla times F , é dado por:
nabla times F = ( partial Rpartial y - partial Qpartial z, partial Ppartial z - partial Rpartial x, partial Qpartial x - partial Ppartial y )
Vamos identificar as componentes P, Q, R do nosso campo vetorial.

Passo 3

No nosso caso:
P = x y - y z^2
Q = x y^2 z
R = 2 x^2 y - z^2
Agora, vamos calcular cada uma das derivadas parciais necessárias.

Passo 4

Primeiro componente do rotacional:
partial Rpartial y = partialpartial y (2 x^2 y - z^2) = 2 x^2
partial Qpartial z = partialpartial z (x y^2 z) = x y^2
Primeira componente: 2 x^2 - x y^2

Passo 5

Segunda componente do rotacional:
partial Ppartial z = partialpartial z (x y - y z^2) = -2 y z
partial Rpartial x = partialpartial x (2 x^2 y - z^2) = 4 x y
Segunda componente: -2 y z - 4 x y = -4 x y - 2 y z

Passo 6

Terceira componente do rotacional:
partial Qpartial x = partialpartial x (x y^2 z) = y^2 z
partial Ppartial y = partialpartial y (x y - y z^2) = x - z^2
Terceira componente: y^2 z - (x - z^2) = y^2 z - x + z^2

Resposta

O rotacional do campo vetorial F é:
nabla times F = (2 x^2 - x y^2, -4 x y - 2 y z, y^2 z - x + z^2)

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