Determine o rotacional e divergente das funções abaixo:
F(x, y, z)=x z imath+x y z j+y^2 k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o rotacional e o divergente da função vetorial F(x, y, z) = xz,imath + xyz,j + y^2,k . Isso faz parte da matéria de Cálculo Vetorial, onde estudamos operações que nos ajudam a entender melhor campos como esse. Para resolver, vamos precisar das definições de rotacional e divergente, além de saber como calcular derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o rotacional de F . O rotacional, ou curl, nos mostra como o campo gira em torno de um ponto. A fórmula para calcular o rotacional é:
nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z )imath - ( partial Fzpartial x - partial Fxpartial z )jmath + ( partial Fypartial x - partial Fxpartial y )k
Vamos identificar as componentes de F :
Fx = xz, Fy = xyz, Fz = y^2

Passo 3

Agora, vamos calcular cada derivada parcial necessária para o rotacional:
  1. partial Fzpartial y = partialpartial y(y^2) = 2y
  2. partial Fypartial z = partialpartial z(xyz) = xy
  3. partial Fzpartial x = partialpartial x(y^2) = 0 (porque y^2 não depende de x )
  4. partial Fxpartial z = partialpartial z(xz) = x
  5. partial Fypartial x = partialpartial x(xyz) = yz
  6. partial Fxpartial y = partialpartial y(xz) = 0 (porque xz não depende de y )

Passo 4

Substituindo essas derivadas na fórmula do rotacional:
nabla times F = (2y - xy)imath - (0 - x)jmath + (yz - 0)k
Simplificando cada componente:
nabla times F = (2y - xy)imath + x,jmath + yz,k

Passo 5

Agora, vamos calcular o divergente de F . O divergente nos indica a taxa de “saída” do campo vetorial de um ponto. A fórmula para o divergente é:
nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z
Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. partial Fxpartial x = partialpartial x(xz) = z
  2. partial Fypartial y = partialpartial y(xyz) = xz
  3. partial Fzpartial z = partialpartial z(y^2) = 0 (porque y^2 não depende de z )

Passo 6

Somando essas derivadas, temos:
nabla cdot F = z + xz + 0 = z(1 + x)

Resposta

O rotacional de F é nabla times F = (2y - xy),imath + x,jmath + yz,k e o divergente de F é nabla cdot F = z(1 + x) .

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