Determine o rotacional e divergente das funções abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o rotacional e o divergente da função vetorial
. Isso faz parte da matéria de Cálculo Vetorial, onde estudamos operações que nos ajudam a entender melhor campos como esse. Para resolver, vamos precisar das definições de rotacional e divergente, além de saber como calcular derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o rotacional de
. O rotacional, ou curl, nos mostra como o campo gira em torno de um ponto. A fórmula para calcular o rotacional é:
Vamos identificar as componentes de
:
Passo 3
Agora, vamos calcular cada derivada parcial necessária para o rotacional:
-
-
-
(porque não depende de ) -
-
-
(porque não depende de )
Passo 4
Substituindo essas derivadas na fórmula do rotacional:
Simplificando cada componente:
Passo 5
Agora, vamos calcular o divergente de
. O divergente nos indica a taxa de “saída” do campo vetorial de um ponto. A fórmula para o divergente é:
Vamos calcular cada derivada parcial:
-
-
-
(porque não depende de )
Passo 6
Somando essas derivadas, temos:
Resposta
O rotacional de
é
e o divergente de
é
.