Verifique se as funções dadas satisfazem a equação de Laplace:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa verificar se a função
satisfaz a equação de Laplace. A equação de Laplace é uma equação diferencial parcial muito importante na matemática e física, especialmente em problemas de potencial elétrico, gravitação e fluidos. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a
e
, e depois aplicar a equação de Laplace para ver se ela é satisfeita.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a equação de Laplace. Ela é dada por:
Isso significa que a soma das segundas derivadas parciais de
em relação a
e
deve ser igual a zero para que a função satisfaça a equação de Laplace.
Passo 3
Vamos começar calculando as derivadas parciais de
.
Primeiro, a derivada parcial de
em relação a
:
Agora, a segunda derivada parcial de
em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
E a segunda derivada parcial de
em relação a
:
Passo 5
Agora, vamos somar as duas segundas derivadas parciais que calculamos e verificar se a soma é igual a zero:
Resposta
Como a soma das segundas derivadas parciais é igual a zero, a função
satisfaz a equação de Laplace.