Verifique se as funções dadas satisfazem a equação de Laplace:
z=e^x cdot sen y

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa verificar se a função z = e^x cdot sin y satisfaz a equação de Laplace. A equação de Laplace é uma equação diferencial parcial muito importante na matemática e física, especialmente em problemas de potencial elétrico, gravitação e fluidos. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a x e y , e depois aplicar a equação de Laplace para ver se ela é satisfeita.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a equação de Laplace. Ela é dada por:
partial^2 zpartial x^2 + partial^2 zpartial y^2 = 0
Isso significa que a soma das segundas derivadas parciais de z em relação a x e y deve ser igual a zero para que a função satisfaça a equação de Laplace.

Passo 3

Vamos começar calculando as derivadas parciais de z = e^x cdot sin y .
Primeiro, a derivada parcial de z em relação a x :
partial zpartial x = partialpartial x (e^x cdot sin y) = e^x cdot sin y
Agora, a segunda derivada parcial de z em relação a x :
partial^2 zpartial x^2 = partialpartial x ( e^x cdot sin y ) = e^x cdot sin y

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de z em relação a y :
partial zpartial y = partialpartial y (e^x cdot sin y) = e^x cdot cos y
E a segunda derivada parcial de z em relação a y :
partial^2 zpartial y^2 = partialpartial y ( e^x cdot cos y ) = -e^x cdot sin y

Passo 5

Agora, vamos somar as duas segundas derivadas parciais que calculamos e verificar se a soma é igual a zero:
partial^2 zpartial x^2 + partial^2 zpartial y^2 = e^x cdot sin y + (-e^x cdot sin y) = 0

Resposta

Como a soma das segundas derivadas parciais é igual a zero, a função z = e^x cdot sin y satisfaz a equação de Laplace.

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