Calcule os gradientes das funções abaixo:
f(x, y)=y x^2-y^3 z+x y sen z

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o gradiente da função f(x, y, z) = yx^2 - y^3z + xy sin z . O gradiente é um conceito de cálculo multivariável que envolve derivadas parciais. Então, para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas de f em relação a cada uma das variáveis: x , y e z .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de f em relação a x , ou seja, partial fpartial x .
  • A derivada de yx^2 em relação a x é 2xy porque y é tratado como uma constante.
  • A derivada de -y^3z em relação a x é 0 porque não tem x nessa parte.
  • A derivada de xy sin z em relação a x é y sin z já que y e sin z são constantes em relação a x .
Então, juntando tudo:
partial fpartial x = 2xy + y sin z

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de f em relação a y , ou seja, partial fpartial y .
  • A derivada de yx^2 em relação a y é x^2 .
  • A derivada de -y^3z em relação a y é -3y^2z .
  • A derivada de xy sin z em relação a y é x sin z porque x e sin z são constantes em relação a y .
Então, a derivada total:
partial fpartial y = x^2 - 3y^2z + x sin z

Passo 4

Por último, vamos achar a derivada parcial de f em relação a z , ou seja, partial fpartial z .
  • A derivada de yx^2 em relação a z é 0 porque não tem z nessa parte.
  • A derivada de -y^3z em relação a z é -y^3 .
  • A derivada de xy sin z em relação a z é xy cos z , usando a derivada de sin z que é cos z .
Então, a derivada total:
partial fpartial z = -y^3 + xy cos z

Resposta

O gradiente da função é dado por:
nabla f(x, y, z) = ( 2xy + y sin z, x^2 - 3y^2z + x sin z, -y^3 + xy cos z )

Exercícios relacionados