a) Mostre que |lll1 & a1 & a1^2 1 & a2 & a2^2 1 & a3 & a3^2|=(a2-a1)(a3-a1)(a3-a2)
b) Se a1, a2, ldots, an são números, mostre por indução finita que
Vn=|cccc 1 & a1 & ldots & a1^n-1 1 & a2 & ldots & a2^n-1 vdots & & & vdots 1 & an & ldots & an^n-1 |= i<j (xj-xi)
O símbolo à direita significa o produto de todos os termos xj-xi com i<j e i, j inteiros variando de 1 a n.
Sugestão: Para efetuar facilmente a indução, multiplique cada coluna por x1 e subtraia o mesmo da coluna imediatamente à direita, partindo do lado esquerdo, obtendo, então: Vn=(xn-x1) ldots(x2-x1) Vn-1.
Tal determinante é chamado determinante de Vandermonde.

Passo 1

O enunciado trata do “determinante de Vandermonde”. No item (a) temos um caso 3times3
D= 1 & a1 & a1^2 1 & a2 & a2^2 1 & a3 & a3^2
e precisamos mostrar que
D=(a2-a1)(a3-a1)(a3-a2)
No item (b) generalizamos para
Vn= 1 & x1 & x1^2 & cdots & x1^n-1 1 & x2 & x2^2 & cdots & x2^n-1 vdots & vdots & vdots & & vdots 1 & xn & xn^2 & cdots & xn^n-1 ,
devendo provar por indução que
Vn=prod1<= i<j<= n(xj-xi)
Usaremos operações elementares de coluna e, em (b), indução finita.

Passo 2

Para (a) aplicamos operações de coluna no determinante
D= 1 & a1 & a1^2 1 & a2 & a2^2 1 & a3 & a3^2
Fazemos primeiro
C2 C2-a1,C1,
de modo que a nova C2 tem entradas (ai-a1). Em seguida
C3 C3-a1,C2 (usando o C2 original),
de modo que a nova C3 tem entradas ai^2-a1ai=ai(ai-a1). O determinante fica
1 & 0 & 0 1 & a2-a1 & a2(a2-a1) 1 & a3-a1 & a3(a3-a1)
Agora expandimos pela primeira linha: resta o menor
a2-a1 & a2(a2-a1) a3-a1 & a3(a3-a1)
Fatorando (a2-a1) da primeira linha e (a3-a1) da segunda, obtemos
(a2-a1)(a3-a1) 1 & a2 1 & a3 =(a2-a1)(a3-a1)(a3-a2)

Passo 3

Para (b) procedemos por indução em n.
Base n=1 ou n=2 é imediata. Suponha a fórmula válida para n-1. No determinante
Vn= 1 & x1 & x1^2 & cdots & x1^n-1 1 & x2 & x2^2 & cdots & x2^n-1 vdots & vdots & vdots & & vdots 1 & xn & xn^2 & cdots & xn^n-1
aplicamos, para j=1,dots,n-1,
Cj+1 Cj+1-x1,Cj
Após isso, a primeira linha torna-se (1,0,0,dots,0), e expandindo pela primeira linha sobra o menor (n-1)times(n-1)
M=l[xi^,j-1(xi-x1)r]i=2,dots,n^,j=2,dots,n
Em M fatoramos de cada linha i-1 o termo (xi-x1), i=2,dots,n, obtendo
det M=prodi=2^n(xi-x1) x2^0 & x2^1 & cdots & x2^n-2 vdots & vdots & & vdots xn^0 & xn^1 & cdots & xn^n-2 =prodi=2^n(xi-x1),Vn-1(x2,dots,xn)
Pela hipótese de indução
Vn-1(x2,dots,xn) =prod2<= i<j<= n(xj-xi),
logo
Vn =prodi=2^n(xi-x1) prod2<= i<j<= n(xj-xi) =prod1<= i<j<= n(xj-xi)

Resposta

(a) (a2-a1)(a3-a1)(a3-a2)
(b) Vn=prod1<= i<j<= n(xj-xi)

Exercícios relacionados