a) Mostre que
b) Se
a1, a2, ldots, an são números, mostre por indução finita que
Vn=|cccc 1 & a1 & ldots & a1^n-1 1 & a2 & ldots & a2^n-1 vdots & & & vdots 1 & an & ldots & an^n-1 |= i<j (xj-xi)
O símbolo à direita significa o produto de todos os termos
xj-xi com
i<j e
i, j inteiros variando de 1 a
n .
Sugestão: Para efetuar facilmente a indução, multiplique cada coluna por
x1 e subtraia o mesmo da coluna imediatamente à direita, partindo do lado esquerdo, obtendo, então:
Vn=(xn-x1) ldots(x2-x1) Vn-1 .
Tal determinante é chamado determinante de Vandermonde.
b) Se
Tal determinante é chamado determinante de Vandermonde.
Passo 1
O enunciado trata do “determinante de Vandermonde”. No item (a) temos um caso
3times3
e precisamos mostrar que
No item (b) generalizamos para
devendo provar por indução que
Usaremos operações elementares de coluna e, em (b), indução finita.
Passo 2
Para (a) aplicamos operações de coluna no determinante
Fazemos primeiro
de modo que a nova
C2 tem entradas
(ai-a1) . Em seguida
de modo que a nova
C3 tem entradas
ai^2-a1ai=ai(ai-a1) . O determinante fica
Agora expandimos pela primeira linha: resta o menor
Fatorando
(a2-a1) da primeira linha e
(a3-a1) da segunda, obtemos
Passo 3
Para (b) procedemos por indução em
n .
Basen=1 ou
n=2 é imediata. Suponha a fórmula válida para
n-1 . No determinante
Base
aplicamos, para
j=1,dots,n-1 ,
Após isso, a primeira linha torna-se
(1,0,0,dots,0) , e expandindo pela primeira linha sobra o menor
(n-1)times(n-1)
Em
M fatoramos de cada linha
i-1 o termo
(xi-x1) ,
i=2,dots,n , obtendo
Pela hipótese de indução
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Resposta
(a)
(a2-a1)(a3-a1)(a3-a2)
(b) Vn=prod1<= i<j<= n(xj-xi)
(b)