Calcule os seguintes limites, se existe:
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{4 x^{4}-\sin \left(x^{2}\right)}{2 x^{3} \sin \left(\frac{1}{x}\right)-5 x^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to -\infty}\frac{4x^{4}-\sin\bigl(x^{2}\bigr)}{2x^{3}\sin\!\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr)-5x^{2}}.
O conteúdo envolve análise assintótica de funções trigonométricas e polinomiais quando x tende a -\infty. Vamos comparar os termos de maior grau e usar aproximações de \sin para argumentos pequenos.

Passo 2

Observe que \sin\bigl(x^{2}\bigr) é limitada em [-1,1]. Logo, em módulo é \bigo(1) quando x\to -\infty, enquanto 4x^{4} cresce como x^{4}. Assim,
4x^{4}-\sin\bigl(x^{2}\bigr)=4x^{4}+\bigo(1).

Passo 3

Para a parte \sin\!\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr), como \tfrac{1}{x}\to 0, usamos a expansão
\sin\!\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr)=\tfrac{1}{x}+\bigo\bigl(x^{-3}\bigr).
Multiplicando por 2x^{3}
2x^{3}\sin\!\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr) =2x^{3}\Bigl(\tfrac{1}{x}+\bigo(x^{-3})\Bigr) =2x^{2}+\bigo(1).
Então o denominador fica
2x^{3}\sin\!\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr)-5x^{2} =(2x^{2}+\bigo(1))-5x^{2} =-3x^{2}+\bigo(1).

Passo 4

Agora a fração original vale, para x\to -\infty,
\frac{4x^{4}-\sin(x^{2})}{2x^{3}\sin(\tfrac{1}{x})-5x^{2}} \sim\frac{4x^{4}}{-3x^{2}} =-\frac{4}{3}\,x^{2}.
Como x\to -\infty implica x^{2}\to+\infty, segue que -\tfrac{4}{3}x^{2}\to -\infty.

Resposta

\lim_{x\to -\infty}\frac{4x^{4}-\sin\bigl(x^{2}\bigr)}{2x^{3}\sin\!\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr)-5x^{2}} =-\infty.

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