Calcular |u+v|,|u-v| e (u v) cdot(u-v), sabendo que |u|=4,|v|=3 e o ângulo entre u e v é de 60^circ.

Passo 1

O enunciado dá dois vetores vec u e vec v com |vec u|=4, |vec v|=3 e ângulo entre eles de 60^circ.
Queremos (i) |vec u+vec v|, (ii) |vec u-vec v| e (iii) o produto escalar triplo
(vec utimesvec v)cdot(vec u - vec v)
Para (i) e (ii) vamos usar a fórmula
|vec apmvec b|^2=|vec a|^2+|vec b|^2pm2,|vec a||vec b|costheta,
e para (iii) a propriedade de que vec utimesvec v é perpendicular a vec u e a vec v, logo perpendicular a qualquer combinação linear desses vetores.

Passo 2

Calcular |vec u+vec v|. Pela fórmula do quadrado da norma do somatório:
|vec u+vec v|^2 =|vec u|^2+|vec v|^2+2,|vec u||vec v|cos60^circ =4^2+3^2+2cdot4cdot3cdot12
Isso dá
|vec u+vec v|^2 =16+9+12=37 Longrightarrow |vec u+vec v|=raiz37

Passo 3

Calcular |vec u-vec v|. Agora
|vec u-vec v|^2 =|vec u|^2+|vec v|^2-2,|vec u||vec v|cos60^circ =16+9-12=13
e portanto
|vec u-vec v|=raiz13

Passo 4

Calcular (vec utimesvec v)cdot(vec u-vec v). Note que
(vec utimesvec v)cdot(vec u-vec v) =(vec utimesvec v)cdotvec u ;-;(vec utimesvec v)cdotvec v
Mas vec utimesvec v é ortogonal tanto a vec u quanto a vec v, logo cada termo é zero. Assim
(vec utimesvec v)cdot(vec u-vec v)=0

Resposta

|vec u+vec v|=raiz37
|vec u-vec v|=raiz13
(vec utimesvec v)cdot(vec u-vec v)=0

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