Calcule as classes de conjugação de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular as classes de conjugação do grupo dihedral
. Isso envolve entender um pouquinho sobre teoria de grupos, especificamente sobre como os elementos de um grupo podem ser agrupados em classes que se relacionam por conjugação. Para resolver isso, vamos precisar saber quais são os elementos de
e como eles se comportam quando aplicamos a operação de conjugação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o grupo dihedral
. Ele representa as simetrias de um triângulo equilátero, ou seja, as rotações e reflexões que deixam o triângulo invariável. No caso de
, temos 6 elementos:
- A identidade (
), que não faz nenhuma transformação. - Duas rotações: uma de 120 graus (
) e outra de 240 graus ( ). - Três reflexões: vamos chamar de
, e .
Passo 3
Agora, vamos falar sobre conjugação. Em termos simples, dois elementos
e
do grupo são conjugados se existe um elemento
no grupo tal que
. As classes de conjugação são grupos de elementos que estão relacionados dessa maneira.
Passo 4
Para encontrar as classes de conjugação de
, vamos examinar como os elementos se relacionam por conjugação. Vamos começar com a identidade (
). Como
é o elemento neutro, conjugar qualquer elemento por
não muda o elemento. Portanto, a classe de conjugação de
é apenas
.
Passo 5
Em seguida, vamos olhar para as rotações. Temos
e
. Vamos ver se eles são conjugados:
- Conjugar
por : - Conjugar
por :
Isso mostra quee são conjugados entre si. Portanto, eles pertencem à mesma classe de conjugação: .
Passo 6
Agora, vamos considerar as reflexões:
,
, e
. Vamos verificar se são conjugadas:
- Conjugar
por : - Conjugar
por : - Conjugar
por :
Isso mostra que todas as reflexões são conjugadas entre si. Portanto, elas formam uma única classe de conjugação:.
Resposta
As classes de conjugação de
são: