Calcule as classes de conjugação de D3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular as classes de conjugação do grupo dihedral D3. Isso envolve entender um pouquinho sobre teoria de grupos, especificamente sobre como os elementos de um grupo podem ser agrupados em classes que se relacionam por conjugação. Para resolver isso, vamos precisar saber quais são os elementos de D3 e como eles se comportam quando aplicamos a operação de conjugação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o grupo dihedral D3. Ele representa as simetrias de um triângulo equilátero, ou seja, as rotações e reflexões que deixam o triângulo invariável. No caso de D3, temos 6 elementos:
  • A identidade ( e), que não faz nenhuma transformação.
  • Duas rotações: uma de 120 graus ( r) e outra de 240 graus ( r^2).
  • Três reflexões: vamos chamar de s, sr e sr^2.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre conjugação. Em termos simples, dois elementos a e b do grupo são conjugados se existe um elemento g no grupo tal que b = g a g^-1. As classes de conjugação são grupos de elementos que estão relacionados dessa maneira.

Passo 4

Para encontrar as classes de conjugação de D3, vamos examinar como os elementos se relacionam por conjugação. Vamos começar com a identidade ( e). Como e é o elemento neutro, conjugar qualquer elemento por e não muda o elemento. Portanto, a classe de conjugação de e é apenas e.

Passo 5

Em seguida, vamos olhar para as rotações. Temos r e r^2. Vamos ver se eles são conjugados:
  • Conjugar r por s: s r s^-1 = r^2
  • Conjugar r^2 por s: s r^2 s^-1 = r
    Isso mostra que r e r^2 são conjugados entre si. Portanto, eles pertencem à mesma classe de conjugação: r, r^2.

Passo 6

Agora, vamos considerar as reflexões: s, sr, e sr^2. Vamos verificar se são conjugadas:
  • Conjugar s por r: r s r^-1 = sr^2
  • Conjugar sr por r: r (sr) r^-1 = sr^2 cdot r = s
  • Conjugar sr^2 por r: r (sr^2) r^-1 = s r
    Isso mostra que todas as reflexões são conjugadas entre si. Portanto, elas formam uma única classe de conjugação: s, sr, sr^2.

Resposta

As classes de conjugação de D3 são:
  1. e
  2. r, r^2
  3. s, sr, sr^2

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