Calcular a seguinte integral definida:
Passo 1
Beleza, vamos calcular essa integral definida aí:
Estamos lidando com cálculo integral, especificamente integrando uma função envolvendo seno e cosseno. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a integral fazendo uma substituição. Vamos escolher uma parte da integral para ser nossa nova variável
. Aqui, uma boa escolha é:
Isso porque o denominador da nossa fração é exatamente
, e ao substituir, podemos simplificar a integral.
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
para encontrar
:
Rearranjando isso, temos:
Perceba que o numerador da nossa integral original é
, que agora está substituído por
.
Passo 4
Vamos reescrever a integral em termos de
:
Isso simplifica bastante a integral, transformando-a em uma forma mais fácil de resolver.
Passo 5
Agora, vamos integrar
em relação a
:
Aqui, usamos a regra de potência para integração, onde incrementamos o expoente em 1 e dividimos pelo novo expoente.
Passo 6
Agora, vamos voltar à variável original
substituindo
:
Passo 7
Finalmente, vamos avaliar essa expressão nos limites de integração de
a
:
Sabemos que
e
, então:
Resposta
O valor da integral definida é
.