Calcular a seguinte integral definida:
integralpi2^pi sen x(1-cos x)^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos calcular essa integral definida aí:
integralpi2^pi sen x(1-cos x)^2 , dx
Estamos lidando com cálculo integral, especificamente integrando uma função envolvendo seno e cosseno. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a integral fazendo uma substituição. Vamos escolher uma parte da integral para ser nossa nova variável u . Aqui, uma boa escolha é:
u = 1 - cos x
Isso porque o denominador da nossa fração é exatamente (1 - cos x)^2 , e ao substituir, podemos simplificar a integral.

Passo 3

Agora, vamos derivar u em relação a x para encontrar du :
du = ddx(1 - cos x) , dx = sin x , dx
Rearranjando isso, temos:
sin x , dx = du
Perceba que o numerador da nossa integral original é sin x , dx , que agora está substituído por du .

Passo 4

Vamos reescrever a integral em termos de u :
integral sin x(1 - cos x)^2 , dx = integral duu^2
Isso simplifica bastante a integral, transformando-a em uma forma mais fácil de resolver.

Passo 5

Agora, vamos integrar 1u^2 em relação a u :
integral 1u^2 , du = integral u^-2 , du = -u^-1 + C = -1u + C
Aqui, usamos a regra de potência para integração, onde incrementamos o expoente em 1 e dividimos pelo novo expoente.

Passo 6

Agora, vamos voltar à variável original x substituindo u = 1 - cos x :
-1u + C = -11 - cos x + C

Passo 7

Finalmente, vamos avaliar essa expressão nos limites de integração de pi2 a pi :
[ -11 - cos x ]pi2^pi = -11 - cos pi + 11 - cos pi2
Sabemos que cos pi = -1 e cos pi2 = 0 , então:
- 11 - (-1) + 11 - 0 = -12 + 1 = 12

Resposta

O valor da integral definida é 12 .

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