Encontrar a área da rogino limitada pela curva y=-4 x^2+4 e o eixo dos x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para encontrar a área da região limitada pela curva y = -4x^2 + 4 e pelo eixo dos x . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, mais especificamente integrais, que nos ajudam a calcular áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender onde a curva y = -4x^2 + 4 cruza o eixo dos x . Para encontrar esses pontos de interseção, igualamos y a zero:
-4x^2 + 4 = 0

Passo 3

Resolvendo a equação:
-4x^2 + 4 = 0 -4x^2 = -4 x^2 = 1 x = pm 1
Então, os pontos de interseção são x = -1 e x = 1 .

Passo 4

Agora que sabemos onde a curva cruza o eixo dos x , vamos calcular a área entre x = -1 e x = 1 . Para isso, usamos a integral definida da função y = -4x^2 + 4 nesse intervalo.
A fórmula para a área A é:
A = integral-1^1 (-4x^2 + 4) , dx

Passo 5

Vamos calcular essa integral passo a passo. Primeiro, integramos cada termo da função separadamente.
integral (-4x^2 + 4) , dx = integral -4x^2 , dx + integral 4 , dx
Integrando termo a termo:
integral -4x^2 , dx = -4 cdot x^33 = -43x^3 integral 4 , dx = 4x
Então, a integral fica:
-43x^3 + 4x

Passo 6

Agora, avaliamos essa expressão nos limites de integração de x = -1 a x = 1 :
A = [ -43(1)^3 + 4(1) ] - [ -43(-1)^3 + 4(-1) ]
Calculando cada parte:
Para x = 1 :
-43(1) + 4(1) = -43 + 4 = 83
Para x = -1 :
-43(-1) + 4(-1) = 43 - 4 = -83

Passo 7

Subtraindo os resultados:
A = 83 - ( -83 ) = 83 + 83 = 163

Resposta

A área da região limitada pela curva y = -4x^2 + 4 e pelo eixo dos x é 163 unidades de área.

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