Determine a solução das equações diferenciais utilizando o método da redução de ordem.
Passo 1
Então, a gente tem uma equação diferencial do tipo
e já sabemos que
é uma solução dessa equação. Vamos usar o método da redução de ordem para encontrar uma segunda solução. Para isso, precisamos lembrar como funciona esse método e quais fórmulas a gente vai usar.
Passo 2
Primeiro, lembrar que o método da redução de ordem é útil quando já conhecemos uma solução da equação diferencial linear. A ideia é supor que a segunda solução
seja da forma
, onde
é uma função que a gente precisa descobrir.
Passo 3
Vamos definir
. Agora, precisamos calcular as primeiras e segundas derivadas de
:
Passo 4
Substituindo
,
e
na equação diferencial original:
Passo 5
Essa é uma equação diferencial de primeira ordem para
. Vamos fazer uma substituição para simplificar. Seja
, então a equação fica:
Passo 6
Essa é uma equação linear de primeira ordem que podemos resolver usando o fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Passo 7
Multiplicando toda a equação por
:
Isso simplifica para:
Passo 8
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração. Então:
Passo 9
Lembrando que
, temos:
Integrando novamente para encontrar
:
Passo 10
A integral de
é conhecida e resulta em:
Onde
é a constante de integração. Então:
Passo 11
Como
, a segunda solução é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.