Determine a solução das equações diferenciais utilizando o método da redução de ordem.
y^prime prime-3 tg(x) y^prime=0 y1=1

Passo 1

Então, a gente tem uma equação diferencial do tipo y'' - 3 tan(x) y' = 0 e já sabemos que y1 = 1 é uma solução dessa equação. Vamos usar o método da redução de ordem para encontrar uma segunda solução. Para isso, precisamos lembrar como funciona esse método e quais fórmulas a gente vai usar.

Passo 2

Primeiro, lembrar que o método da redução de ordem é útil quando já conhecemos uma solução da equação diferencial linear. A ideia é supor que a segunda solução y2 seja da forma y2 = y1 cdot v(x) , onde v(x) é uma função que a gente precisa descobrir.

Passo 3

Vamos definir y2 = y1 cdot v(x) = 1 cdot v(x) = v(x) . Agora, precisamos calcular as primeiras e segundas derivadas de y2 :
y2' = v'(x)
y2'' = v''(x)

Passo 4

Substituindo y2 , y2' e y2'' na equação diferencial original:
v''(x) - 3 tan(x) v'(x) = 0

Passo 5

Essa é uma equação diferencial de primeira ordem para v'(x) . Vamos fazer uma substituição para simplificar. Seja u = v'(x) , então a equação fica:
u' - 3 tan(x) u = 0

Passo 6

Essa é uma equação linear de primeira ordem que podemos resolver usando o fator integrante. O fator integrante mu(x) é dado por:
mu(x) = e^integral -3 tan(x) dx = e^-3 ln|sec(x)| = cos^3(x)

Passo 7

Multiplicando toda a equação por mu(x) = cos^3(x) :
cos^3(x) u' - 3 tan(x) cos^3(x) u = 0
Isso simplifica para:
ddx [cos^3(x) u] = 0

Passo 8

Integrando ambos os lados:
cos^3(x) u = C
Onde C é a constante de integração. Então:
u = Ccos^3(x) = C sec^3(x)

Passo 9

Lembrando que u = v'(x) , temos:
v'(x) = C sec^3(x)
Integrando novamente para encontrar v(x) :
v(x) = C integral sec^3(x) dx

Passo 10

A integral de sec^3(x) é conhecida e resulta em:
integral sec^3(x) dx = 12 sec(x) tan(x) + 12 ln|sec(x) + tan(x)|| + K
Onde K é a constante de integração. Então:
v(x) = C2 sec(x) tan(x) + C2 ln|sec(x) + tan(x)||

Passo 11

Como y2 = v(x) , a segunda solução é:
y2 = 12 sec(x) tan(x) + 12 ln|sec(x) + tan(x)||

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = C1 cdot 1 + C2 ( 12 sec(x) tan(x) + 12 ln|sec(x) + tan(x)| )
Onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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