Determine a solução das equações diferenciais utilizando o método da redução de ordem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método da redução de ordem. A equação que temos é:
E já sabemos uma solução particular dessa equação, que é
. Para resolver essa equação completamente, precisamos encontrar uma segunda solução independente usando o método da redução de ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação diferencial de segunda ordem linear. A equação que temos é da forma:
No nosso caso,
,
e
.
Como já temos uma solução
, podemos procurar a segunda solução
na forma:
Aqui,
é uma função que precisamos encontrar.
Passo 3
Vamos derivar
:
Substituindo
,
e
na equação original, teremos uma nova equação para
.
Passo 4
Depois de substituir, geralmente simplificamos a equação resultante. O objetivo é chegar a uma equação para
. Nesse processo, cancelam-se termos e conseguimos uma equação de primeira ordem para
.
Integramos essa equação para encontrar
, e consequentemente,
.
Passo 5
Após encontrar
, a solução geral da equação diferencial será uma combinação linear das duas soluções:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: