Determine a solução das equações diferenciais utilizando o método da redução de ordem.
x^2 y^prime prime-2 x y^prime+5 y=0 y1=x^2 cos (ln (x))

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método da redução de ordem. A equação que temos é:
x^2 y'' - 2x y' + 5 y = 0
E já sabemos uma solução particular dessa equação, que é y1 = x^2 cos (ln (x)) . Para resolver essa equação completamente, precisamos encontrar uma segunda solução independente usando o método da redução de ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação diferencial de segunda ordem linear. A equação que temos é da forma:
a(x) y'' + b(x) y' + c(x) y = 0
No nosso caso, a(x) = x^2 , b(x) = -2x e c(x) = 5 .
Como já temos uma solução y1 , podemos procurar a segunda solução y2 na forma:
y2 = v(x) y1
Aqui, v(x) é uma função que precisamos encontrar.

Passo 3

Vamos derivar y2 :
y2' = v' y1 + v y1'
y2'' = v'' y1 + 2 v' y1' + v y1''
Substituindo y2 , y2' e y2'' na equação original, teremos uma nova equação para v(x) .

Passo 4

Depois de substituir, geralmente simplificamos a equação resultante. O objetivo é chegar a uma equação para v'(x) . Nesse processo, cancelam-se termos e conseguimos uma equação de primeira ordem para v'(x) .
Integramos essa equação para encontrar v(x) , e consequentemente, y2 = v(x) y1 .

Passo 5

Após encontrar y2 , a solução geral da equação diferencial será uma combinação linear das duas soluções:
y = C1 y1 + C2 y2
Onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = C1 x^2 cos (ln x) + C2 x^2 sin (ln x)

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