Calcular as seguintes funções compostas
f(g(x)) e g(f(x)) se f(x)=3x^2-1 e g(x) raizx+2.

Passo 1

O enunciado dá as funções
f(x)=3x^2-1
e
g(x)=raizx+2
e pede as composições fl(g(x)r) e gl(f(x)r). O conteúdo envolvido é substituição de uma função na outra e análise de domínio.

Passo 2

Para calcular fl(g(x)r), substituímos xmapsto g(x) em f:
fl(g(x)r) =3l(g(x)r)^2-1 =3l(raizx+2r)^2-1
e, como l(raizx+2r)^2=x+2,
fl(g(x)r) =3x+2-1 =3x+1

Passo 3

Verificamos o domínio de f(g(x)):
  1. Para g(x)=raizx+2 ser real, x+2>=0, ou seja x>=-2.
  2. Para o denominador x+1 não anular, xneq-1.
    Logo o domínio de f(g(x)) é
[-2,infty)setminus-1

Passo 4

Para calcular gl(f(x)r), substituímos xmapsto f(x) em g:
gl(f(x)r) =raiz,f(x)+2, =raiz3x^2-1+2
e, fazendo denominar em comum,
gl(f(x)r) =raiz3+2(x^2-1)x^2-1 =raiz2x^2+1x^2-1

Passo 5

Verificamos o domínio de g(f(x)):
  1. f(x)=3/(x^2-1) exige x^2-1neq0, ou seja xneqpm1.
  2. A raiz exige 2x^2+1x^2-1>=0. Como 2x^2+1>0 sempre, basta x^2-1>0, ou seja x<-1 ou x>1.
    Portanto o domínio de g(f(x)) é
(-infty,-1)cup(1,infty)

Resposta

fl(g(x)r)=3x+1, domínio [-2,infty)setminus-1, í
gl(f(x)r)=raiz2x^2+1x^2-1, domínio (-infty,-1)cup(1,infty) í

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