Calcular as seguintes integrais
\begin{gathered} \int_{1}^{9} \frac{\sqrt{u}-3 u^{2}}{u} d u, \quad \int_{1}^{2} y^{2} \sqrt{1+y^{3}} d y, \quad \int_{-1}^{0}\left(\frac{1}{3} t^{4}+\frac{1}{4} t^{3}-t\right) d t, \quad \int_{-2}^{2} x(1-x)^{2} d x \int_{1}^{3} \frac{1+x}{1+x^{2}} d x, \quad \int\left(x^{3}+1+\frac{1}{x^{2}+1}\right) d x, \quad \int_{1}^{2} \frac{\sqrt{y}-y}{y^{2}} d y \end{gathered}

Passo 1

O enunciado pede para calcular sete integrais, usando as seguintes ferramentas de cálculo integral:
  • Simplificação algébrica do integrando e regra da potência.
  • Substituição conveniente para raízes e compostos.
  • Identificação de funções pares ou ímpares em integrais simétricas.
  • Integração termo a termo em polinômios e soma de frações simples.

Passo 2

Calcular
\int_{1}^{9}\frac{\sqrt{u}-3u^{2}}{u}\,du.
Primeiro simplificamos o integrando:
\frac{\sqrt{u}-3u^{2}}{u} = u^{-\tfrac12}-3u.
Aplicamos a regra da potência em cada termo:
\int u^{-\tfrac12}\,du = 2u^{\tfrac12}, \quad \int u\,du = \frac{u^{2}}{2}.
Logo a primitiva é
2\sqrt{u}-3\cdot\frac{u^{2}}{2} =2\sqrt{u}-\frac{3u^{2}}{2}.
Avaliando de 1 a 9:
\Bigl[2\sqrt{u}-\tfrac{3u^{2}}{2}\Bigr]_{1}^{9} =\Bigl(6-\tfrac{243}{2}\Bigr)-\Bigl(2-\tfrac{3}{2}\Bigr) =-\tfrac{231}{2}-\tfrac{1}{2} =-116.

Passo 3

Calcular
\int_{1}^{2}y^{2}\sqrt{1+y^{3}}\,dy.
Fazemos a substituição
t=1+y^{3},\quad dt=3y^{2}dy\;\Longrightarrow\;y^{2}dy=\frac{dt}{3},
e os limites vão de t(1)=2 até t(2)=9. A integral fica
\frac{1}{3}\int_{2}^{9}t^{\tfrac12}\,dt =\frac{1}{3}\cdot\frac{2}{3}\,t^{\tfrac32}\Big|_{2}^{9} =\frac{2}{9}\bigl(9^{\tfrac32}-2^{\tfrac32}\bigr) =\frac{2}{9}(27-2\sqrt2) =6-\frac{4\sqrt2}{9}.

Passo 4

Calcular
\int_{-1}^{0}\Bigl(\tfrac{1}{3}t^{4}+\tfrac{1}{4}t^{3}-t\Bigr)\,dt.
Integramos termo a termo:
\int \tfrac{1}{3}t^{4}dt = \tfrac{t^{5}}{15},\quad \int \tfrac{1}{4}t^{3}dt = \tfrac{t^{4}}{16},\quad \int (-t)\,dt = -\tfrac{t^{2}}{2}.
A primitiva é
F(t)=\frac{t^{5}}{15}+\frac{t^{4}}{16}-\frac{t^{2}}{2},
e avaliando de -1 a 0:
F(0)-F(-1) =0-\Bigl(-\tfrac{1}{15}+\tfrac{1}{16}-\tfrac{1}{2}\Bigr) =\frac{121}{240}.

Passo 5

Calcular
\int_{-2}^{2}x(1-x)^{2}\,dx.
Expandimos o integrando:
x(1-2x+x^{2})=x-2x^{2}+x^{3}.
Em [-2,2], x e x^{3} são funções ímpares, cuja integral é zero, restando
-2\int_{-2}^{2}x^{2}\,dx =-2\cdot2\int_{0}^{2}x^{2}\,dx =-4\cdot\frac{2^{3}}{3} =-\frac{32}{3}.

Passo 6

Calcular
\int_{1}^{3}\frac{1+x}{1+x^{2}}\,dx.
Separamos a soma:
\int\frac{1}{1+x^{2}}\,dx+\int\frac{x}{1+x^{2}}\,dx =\arctan(x)+\frac{1}{2}\ln\bigl(1+x^{2}\bigr).
Avaliando de 1 a 3:
\Bigl[\arctan(x)+\tfrac12\ln(1+x^{2})\Bigr]_{1}^{3} =\bigl(\arctan3-\arctan1\bigr) +\tfrac12\ln\frac{10}{2} =\arctan3-\frac{\pi}{4}+\frac{1}{2}\ln5.

Passo 7

Calcular a integral indefinida
\int\Bigl(x^{3}+1+\frac{1}{x^{2}+1}\Bigr)\,dx.
Integramos termo a termo:
\int x^{3}dx=\frac{x^{4}}{4},\quad \int 1\,dx=x,\quad \int\frac{1}{x^{2}+1}dx=\arctan(x).
Logo a primitiva é
\frac{x^{4}}{4}+x+\arctan(x)+C.

Passo 8

Calcular
\int_{1}^{2}\frac{\sqrt{y}-y}{y^{2}}\,dy.
Escrevemos em potências:
\frac{\sqrt{y}-y}{y^{2}} =y^{-\tfrac32}-y^{-1}.
Aplicando a regra da potência e a integral de y^{-1}:
\int y^{-\tfrac32}dy=-2y^{-\tfrac12},\quad \int y^{-1}dy=\ln|y|.
A primitiva é -2y^{-\tfrac12}-\ln y e, de 1 a 2:
\Bigl[-2y^{-\tfrac12}-\ln y\Bigr]_{1}^{2} =\bigl(-\sqrt2-\ln2\bigr)-(-2) =2-\sqrt2-\ln2.

Resposta

  1. -116
  2. 6 - \tfrac{4\sqrt2}{9}
  3. \tfrac{121}{240}
  4. -\tfrac{32}{3}
  5. \arctan3 - \tfrac{\pi}{4} + \tfrac{1}{2}\ln5
  6. \displaystyle \frac{x^{4}}{4}+x+\arctan(x)+C
  7. 2 - \sqrt2 - \ln2

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