Calcule a integral fazendo a substituição indicada partes com as escolhas de u e d v indicadas.
\int x\left(1+x{2}\right){5} d x ;\quad u=1+x^{2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int x\,(1+x^{2})^{5}\,dx
usando uma mudança de variável. O conteúdo aqui é integração por substituição, em que identificamos dentro da integral uma parte cuja derivada também aparece.

Passo 2

Definimos a substituição
u = 1 + x^{2}.
Em seguida, derivamos ambos os lados em relação a x:
du = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{du}{2}.

Passo 3

Reescrevemos a integral original em termos de u. Como (1+x^{2})^{5} = u^{5} e x\,dx = \tfrac{du}{2}, temos
\int x\,(1+x^{2})^{5}\,dx = \int u^{5}\,\frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int u^{5}\,du.

Passo 4

Agora integramos em u:
\int u^{5}\,du = \frac{u^{6}}{6},
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\frac{1}{2}\int u^{5}\,du = \frac{1}{2}\cdot\frac{u^{6}}{6} = \frac{u^{6}}{12}.

Resposta

Substituindo de volta u = 1 + x^{2}, obtemos
\frac{(1 + x^{2})^{6}}{12} + C.

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