Verifique, por derivação, que a fórmula está correta:
\int 2 x e^{-2 x} d x=-\frac{2 x+1}{2 e^{2 x}}

Passo 1

O enunciado pede para verificar, por derivação, que a primitiva
F(x)=-\frac{2x+1}{2e^{2x}}
satisfaz
F'(x)=2x\,e^{-2x}.
Vamos usar as regras de derivação (regra do produto e cadeia) para mostrar que a derivada de F(x) é exatamente o integrando.

Passo 2

Reescrevemos F(x) de forma mais conveniente para derivar:
F(x)=-\frac{2x+1}{2e^{2x}} =-\frac12\,(2x+1)\,e^{-2x}.

Passo 3

Aplicamos a regra do produto a
f(x)=2x+1 \quad\text{e}\quad g(x)=e^{-2x},
de modo que
F(x)=-\tfrac12\,f(x)\,g(x).
Temos
f'(x)=2, \quad g'(x)=(-2)\,e^{-2x}.

Passo 4

Derivando F(x):
F'(x) =-\tfrac12\bigl(f'(x)\,g(x)+f(x)\,g'(x)\bigr) =-\tfrac12\bigl(2\,e^{-2x}+(2x+1)(-2)\,e^{-2x}\bigr).
Distribuindo e simplificando:
F'(x) =-\tfrac12\bigl(2e^{-2x}-2(2x+1)e^{-2x}\bigr) =-e^{-2x}+(2x+1)e^{-2x} =(2x+1-1)e^{-2x} =2x\,e^{-2x}.

Passo 5

Encontramos
F'(x)=2x\,e^{-2x},
que é exatamente o integrando. Logo a primitiva dada está correta.

Resposta

A derivada de -\frac{2x+1}{2e^{2x}} é 2x\,e^{-2x}, portanto a fórmula está verificada.

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