Verifique, por derivação, que a fórmula está correta:
\int x\left(1+x{2}\right){5} d x=\frac{\left(x{2}+1\right){6}}{12}

Passo 1

O enunciado nos pede para verificar, por derivação, que a função
F(x) = \frac{\bigl(x^{2}+1\bigr)^{6}}{12}
é uma primitiva do integrando
f(x)=x\bigl(1+x^{2}\bigr)^{5}.
Para isso, vamos aplicar a regra da cadeia na derivação de F(x).

Passo 2

Seja u(x)=x^{2}+1. Então podemos escrever
F(x)=\frac{1}{12}\,u(x)^{6}.
Pela regra da cadeia,
F'(x) = \frac{1}{12}\cdot 6\,u(x)^{5}\cdot u'(x) = \frac{6}{12}\,(x^{2}+1)^{5}\cdot (2x) = x\,(x^{2}+1)^{5}.

Passo 3

Obtivemos
F'(x)=x\bigl(1+x^{2}\bigr)^{5},
ou seja, a derivada de F coincide exatamente com o integrando f(x). Logo, F é de fato uma primitiva de f.

Resposta

A fórmula está correta, pois
\frac{d}{dx}\!\Bigl[\tfrac{(x^{2}+1)^{6}}{12}\Bigr] = x\,(1+x^{2})^{5}.

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