Calcular as seguintes integrais
Calcule cada integral usando integração por partes
Calcule cada integral usando integração por partes
Passo 1
O enunciado pede para calcular várias integrais usando integração por partes, que é uma técnica útil quando temos um produto de funções. Vamos usar o fato de que, para duas funções
e
, vale
Passo 2
Anotamos a fórmula geral de integração por partes: se escolhermos
então
e
Passo 3
Integral
.
Escolho ,
. Então
Escolho
Aplico a fórmula:
Passo 4
Integral
.
Escolho ,
. Então
Escolho
Logo
Passo 5
Integral
.
Escolho ,
. Então
Escolho
Então
Passo 6
Integral
.
Escrevo . Tomo
,
. Então
Escrevo
Assim
Aplicando de 4 a 9:
Passo 7
Integral
.
Uso . Então
Uso
Para
, tomo
,
, logo
e
Subtraindo
, obtemos
Passo 8
Integral
.
Faço por partes sucessivas: ,
. Após três aplicações chega-se a
Faço por partes sucessivas:
Passo 9
Integral
.
Aplicando duas vezes por partes e resolvendo o sistema, encontra-se
Aplicando duas vezes por partes e resolvendo o sistema, encontra-se
Passo 10
Integral
.
Pela mesma ideia (ou fórmula direta), com ,
, dá
Pela mesma ideia (ou fórmula direta), com
Passo 11
Integral
.
Tomo ,
. Então
Tomo
e
De 1 a 3:
Passo 12
Integral
.
Escrevo . Faço
,
. Então
Escrevo
e
De 0 a 1: