Calcular as seguintes integrais
Calcule cada integral usando integração por partes
\begin{aligned} & \int x \cos (2 x) d x, \quad \int x \mathrm{e}^{-x} d x, \quad \int t \operatorname{sen}(5 t) d t, \quad \int_{4}^{9} \frac{\ln (x)}{\sqrt{x}} d x, \quad \int x \tan ^{2}(x) d x, \quad \int z^{3} \mathrm{e}^{z} & \int \mathrm{e}^{2 x} \cos (3 x) d x, \quad \int \mathrm{e}^{-x} \cos (2 x) d x, \quad \int_{1}^{3} r^{3} \ln (r) d r, \quad \int_{0}^{1} \frac{y}{e^{2 y}} d y \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para calcular várias integrais usando integração por partes, que é uma técnica útil quando temos um produto de funções. Vamos usar o fato de que, para duas funções u(x) e v(x), vale
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.

Passo 2

Anotamos a fórmula geral de integração por partes: se escolhermos
u = u(x),\quad dv = v'(x)\,dx,
então
du = u'(x)\,dx,\quad v = \int v'(x)\,dx,
e
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.

Passo 3

Integral \displaystyle \int x\cos(2x)\,dx.
Escolho u = x, dv = \cos(2x)\,dx. Então
du = dx,\quad v = \int \cos(2x)\,dx = \tfrac12\sin(2x).
Aplico a fórmula:
\int x\cos(2x)\,dx = x\cdot\tfrac12\sin(2x) - \int \tfrac12\sin(2x)\,dx = \frac{x}{2}\sin(2x) + \frac{1}{4}\cos(2x) + C.

Passo 4

Integral \displaystyle \int x e^{-x}\,dx.
Escolho u = x, dv = e^{-x}dx. Então
du = dx,\quad v = \int e^{-x}dx = -e^{-x}.
Logo
\int x e^{-x}\,dx = -x e^{-x} - \int(-e^{-x})\,dx = -x e^{-x} - e^{-x} + C = -(x+1)e^{-x} + C.

Passo 5

Integral \displaystyle \int t\sin(5t)\,dt.
Escolho u = t, dv = \sin(5t)\,dt. Então
du=dt,\quad v = \int \sin(5t)\,dt = -\tfrac{1}{5}\cos(5t).
Então
\int t\sin(5t)\,dt = -\frac{t}{5}\cos(5t) + \frac{1}{5}\int \cos(5t)\,dt = -\frac{t}{5}\cos(5t) + \frac{1}{25}\sin(5t) + C.

Passo 6

Integral \displaystyle \int_{4}^{9} \frac{\ln(x)}{\sqrt{x}}\,dx.
Escrevo \ln(x)x^{-1/2}. Tomo u = \ln(x), dv = x^{-1/2}dx. Então
du = \frac{dx}{x},\quad v = \int x^{-1/2}dx = 2x^{1/2}.
Assim
\int \ln(x)x^{-1/2}dx = 2\sqrt{x}\ln(x) - 2\int x^{-1/2}dx = 2\sqrt{x}\ln(x) - 4\sqrt{x} + C.
Aplicando de 4 a 9:
\bigl[2\sqrt{x}\ln(x) - 4\sqrt{x}\bigr]_{4}^{9} = \bigl(6\ln9 -12\bigr) - \bigl(4\ln4 -8\bigr) =6\ln9 -12 -4\ln4 +8 =6\ln9 -4\ln4 -4.

Passo 7

Integral \displaystyle \int x\tan^2(x)\,dx.
Uso \tan^2 x = \operatorname{sec}^2 x -1. Então
\int x\tan^2(x)\,dx = \int x\operatorname{sec}^2(x)\,dx - \int x\,dx.
Para \int x\operatorname{sec}^2(x)\,dx, tomo u=x, dv=\operatorname{sec}^2(x)dx, logo
du=dx,\quad v=\tan(x),
e
\int x\operatorname{sec}^2(x)dx = x\tan(x) - \int \tan(x)\,dx = x\tan(x) + \ln\lvert\cos(x)\rvert + C.
Subtraindo \int x\,dx = x^2/2, obtemos
\int x\tan^2(x)\,dx = x\tan(x) + \ln\lvert\cos(x)\rvert - \frac{x^2}{2} + C.

Passo 8

Integral \displaystyle \int z^3 e^{z}\,dz.
Faço por partes sucessivas: u=z^3, dv=e^z dz. Após três aplicações chega-se a
\int z^3 e^z dz = e^z\bigl(z^3 -3z^2 +6z -6\bigr) + C.

Passo 9

Integral \displaystyle \int e^{2x}\cos(3x)\,dx.
Aplicando duas vezes por partes e resolvendo o sistema, encontra-se
\int e^{2x}\cos(3x)\,dx = \frac{e^{2x}}{13}\bigl(3\sin(3x) +2\cos(3x)\bigr) + C.

Passo 10

Integral \displaystyle \int e^{-x}\cos(2x)\,dx.
Pela mesma ideia (ou fórmula direta), com a=-1, b=2, dá
\int e^{-x}\cos(2x)\,dx = \frac{e^{-x}}{(-1)^2+2^2}\bigl((-1)\cos(2x) +2\sin(2x)\bigr) + C = \frac{e^{-x}}{5}\bigl(2\sin(2x) -\cos(2x)\bigr) + C.

Passo 11

Integral \displaystyle \int_{1}^{3} r^3\ln(r)\,dr.
Tomo u=\ln(r), dv=r^3dr. Então
du=\frac{dr}{r},\quad v=\frac{r^4}{4},
e
\int r^3\ln(r)\,dr = \frac{r^4}{4}\ln(r) - \frac{1}{4}\int r^3\,dr = \frac{r^4}{4}\ln(r) - \frac{r^4}{16} + C.
De 1 a 3:
\Bigl[\tfrac{r^4}{4}\ln(r) - \tfrac{r^4}{16}\Bigr]_1^3 = \frac{81}{4}\ln(3) - \frac{81}{16} - \Bigl(0 - \tfrac{1}{16}\Bigr) = \frac{81}{4}\ln(3) - \frac{80}{16} = \frac{81}{4}\ln(3) -5.

Passo 12

Integral \displaystyle \int_{0}^{1} \frac{y}{e^{2y}}\,dy.
Escrevo y e^{-2y}. Faço u=y, dv=e^{-2y}dy. Então
du=dy,\quad v=-\tfrac12e^{-2y},
e
\int y e^{-2y}dy = -\frac{y}{2}e^{-2y} + \frac{1}{2}\int e^{-2y}dy = -\frac{y}{2}e^{-2y} - \frac{1}{4}e^{-2y} + C.
De 0 a 1:
\Bigl[-\frac{y+1/2}{2}e^{-2y}\Bigr]_0^1 = \Bigl(-\frac{3}{4}e^{-2}\Bigr) - \Bigl(-\frac{1}{4}\Bigr) = \frac{1 - 3e^{-2}}{4}.

Resposta

  1. \displaystyle \int x\cos(2x)\,dx = \frac{x}{2}\sin(2x) + \frac{1}{4}\cos(2x) + C.
  2. \displaystyle \int x e^{-x}\,dx = -(x+1)e^{-x} + C.
  3. \displaystyle \int t\sin(5t)\,dt = -\frac{t}{5}\cos(5t) + \frac{1}{25}\sin(5t) + C.
  4. \displaystyle \int_{4}^{9}\frac{\ln(x)}{\sqrt{x}}\,dx = 6\ln(9) -4\ln(4) -4.
  5. \displaystyle \int x\tan^2(x)\,dx = x\tan(x) + \ln\lvert\cos(x)\rvert - \frac{x^2}{2} + C.
  6. \displaystyle \int z^3 e^z\,dz = e^z\bigl(z^3 -3z^2 +6z -6\bigr) + C.
  7. \displaystyle \int e^{2x}\cos(3x)\,dx = \frac{e^{2x}}{13}\bigl(3\sin(3x) +2\cos(3x)\bigr) + C.
  8. \displaystyle \int e^{-x}\cos(2x)\,dx = \frac{e^{-x}}{5}\bigl(2\sin(2x) -\cos(2x)\bigr) + C.
  9. \displaystyle \int_{1}^{3}r^3\ln(r)\,dr = \frac{81}{4}\ln(3) -5.
  10. \displaystyle \int_{0}^{1}\frac{y}{e^{2y}}\,dy = \frac{1 - 3e^{-2}}{4}.

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