Utilize o Teorema Fundamental do Cálculo para derivar a seguinte função:
g(x)=\int_{2 x}^{3 x} \frac{3 u^{2}-1}{5 u^{2}+1} d u, \quad g(x)=\int_{1+2 x}^{1-2 x} t \operatorname{sen}\left(e^{t}\right) d t, \quad F(x)=\int_{x}^{x^{2}} 3 \mathrm{e}^{t^{2}} d t

Passo 1

O enunciado pede para derivarmos três funções definidas por integrais cujos limites dependem de x. Vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo na sua forma estendida (ou Regra de Leibniz), que diz:
\frac{d}{dx}\int_{a(x)}^{b(x)} f(t)\,dt = f\bigl(b(x)\bigr)\,b'(x)\;-\;f\bigl(a(x)\bigr)\,a'(x).

Passo 2

Derivada de
g(x)=\int_{2x}^{3x}\frac{3u^{2}-1}{5u^{2}+1}\,du.
Aqui a(x)=2x, b(x)=3x e f(u)=(3u^{2}-1)/(5u^{2}+1). Logo,
g'(x) = f(3x)\,(3)\;-\;f(2x)\,(2) =3\;\frac{3(3x)^{2}-1}{5(3x)^{2}+1} \;-\;2\;\frac{3(2x)^{2}-1}{5(2x)^{2}+1}.

Passo 3

Derivada de
g(x)=\int_{1+2x}^{\,1-2x}t\sin\bigl(e^{t}\bigr)\,dt.
Agora a(x)=1+2x, b(x)=1-2x e f(t)=t\sin(e^{t}). Assim,
g'(x) =f\bigl(1-2x\bigr)\,(-2)\;-\;f\bigl(1+2x\bigr)\,(2) =-2\,(1-2x)\,\sin\bigl(e^{1-2x}\bigr) \;-\;2\,(1+2x)\,\sin\bigl(e^{1+2x}\bigr).

Passo 4

Derivada de
F(x)=\int_{x}^{x^{2}}3e^{t^{2}}\,dt.
Aqui a(x)=x, b(x)=x^{2} e f(t)=3e^{t^{2}}. Logo,
F'(x) =f(x^{2})\,(2x)\;-\;f(x)\,(1) =2x\cdot3e^{(x^{2})^{2}} \;-\;3e^{x^{2}} =6x\,e^{x^{4}}-3e^{x^{2}}.

Resposta

g'(x)=3\;\dfrac{3(3x)^{2}-1}{5(3x)^{2}+1}\;-\;2\;\dfrac{3(2x)^{2}-1}{5(2x)^{2}+1}.
g'(x)=-2(1-2x)\sin\bigl(e^{1-2x}\bigr)\;-\;2(1+2x)\sin\bigl(e^{1+2x}\bigr).
F'(x)=6x\,e^{x^{4}}-3e^{x^{2}}.

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