Calcular as seguintes integrais de caminho \int_{\alpha} f(x, y, z) d s, onde:
f(x, y, z)=\frac{1}{y^{3}} e \alpha(t)=(\operatorname{Ln} t, t, 2), t \in[1, e].

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de caminho
\int_{\alpha} f(x,y,z)\,ds
onde
f(x,y,z)=\frac{1}{y^{3}}
e
\alpha(t)=(\ln t,\;t,\;2),\quad t\in[1,e].
O conteúdo envolvido é integral de linha de uma função escalar, e vamos precisar parametrizar o elemento de arco ds por meio de \|\alpha'(t)\|.

Passo 2

Calculamos a derivada de \alpha:
\alpha'(t)=\bigl(\tfrac{d}{dt}\ln t,\;\tfrac{d}{dt}t,\;\tfrac{d}{dt}2\bigr) =\bigl(\tfrac{1}{t},\;1,\;0\bigr).
Logo o comprimento de arco é
ds=\|\alpha'(t)\|\,dt =\sqrt{\bigl(\tfrac{1}{t}\bigr)^2+1^2+0^2}\,dt =\sqrt{1+\tfrac{1}{t^2}}\;dt.

Passo 3

Substituímos na integral de linha:
\int_{\alpha}f\,ds =\int_{1}^{e}f\bigl(\alpha(t)\bigr)\,\|\alpha'(t)\|\,dt =\int_{1}^{e}\frac{1}{t^{3}}\;\sqrt{1+\tfrac{1}{t^2}}\;dt.
Para simplificar, note que
\frac{1}{t^{3}}\sqrt{1+\tfrac{1}{t^2}} =\frac{\sqrt{t^2+1}}{t^4}.

Passo 4

Fazemos a substituição v=1/t. Então
dv=-\frac{1}{t^2}\,dt \quad\Longrightarrow\quad dt=-\,\frac{1}{v^2}\,dv.
Os limites mudam de t=1\to v=1 e t=e\to v=1/e. O integrando vira
\frac{\sqrt{t^2+1}}{t^4}\,dt =\sqrt{\frac{1}{v^2}+1}\;\bigl(v^4\bigr)\;\Bigl(-\frac{1}{v^2}dv\Bigr) =-v\sqrt{1+v^2}\;dv.
Portanto
\int_{1}^{e}\frac{\sqrt{t^2+1}}{t^4}\,dt =-\int_{v=1}^{v=1/e}v\sqrt{1+v^2}\,dv =\int_{1/e}^{1}v\sqrt{1+v^2}\,dv.

Passo 5

Calculamos \displaystyle\int v\sqrt{1+v^2}\,dv por w=1+v^2, dw=2v\,dv:
\int v\sqrt{1+v^2}\,dv =\frac{1}{2}\int \sqrt{w}\,dw =\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}w^{3/2} =\frac{1}{3}(1+v^2)^{3/2}.
Assim
\int_{1/e}^{1}v\sqrt{1+v^2}\,dv =\left[\frac{1}{3}(1+v^2)^{3/2}\right]_{v=1/e}^{v=1}.

Passo 6

Avaliação nos limites:
\frac{1}{3}\Bigl[(1+1^2)^{3/2}-(1+(1/e)^2)^{3/2}\Bigr] =\frac{1}{3}\Bigl[2^{3/2}-(1+e^{-2})^{3/2}\Bigr].

Resposta

\int_{\alpha}f(x,y,z)\,ds =\frac{1}{3}\Bigl(2^{3/2}-(1+e^{-2})^{3/2}\Bigr).

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