(i) Calcular o comprimento de arco da curva
r=1+\cos \theta, \quad 0 \leq \theta \leq 2 \pi .
(ii) Provar que a integral de caminho de f(x, y) ao longo de um caminho dado em coordenadas polares por r=r(\theta), \theta_{1} \leq \theta \leq \theta_{2} é
\int_{\theta_{1}}^{\theta_{2}} f(r \cos \theta, r \operatorname{sen} \theta) \sqrt{r^{2}+\left(\frac{d r}{d \theta}\right)^{2}} d \theta

Passo 1

O enunciado tem duas partes:
– (i) calcular o comprimento de arco da curva em coordenadas polares
r(\theta)=1+\cos\theta,\quad 0\le\theta\le2\pi;
– (ii) provar que, para uma curva dada em polares por r=r(\theta), \theta_{1}\le\theta\le\theta_{2}, e uma função f(x,y), a integral de caminho
\int_{C}f(x,y)\,ds
se reduz a
\int_{\theta_{1}}^{\theta_{2}} f\bigl(r(\theta)\cos\theta,\,r(\theta)\sin\theta\bigr) \sqrt{r(\theta)^{2}+\bigl(r'(\theta)\bigr)^{2}} \,d\theta.
O conteúdo principal é comprimento de arco e parametrização de curvas em coordenadas polares.

Passo 2

Para provar a fórmula de ds em função de \theta, parametrizamos
x(\theta)=r(\theta)\cos\theta,\quad y(\theta)=r(\theta)\sin\theta.
Então
\frac{dx}{d\theta} = r'(\theta)\cos\theta - r(\theta)\sin\theta, \quad \frac{dy}{d\theta} = r'(\theta)\sin\theta + r(\theta)\cos\theta.
Pela definição de diferencial de comprimento,
ds = \sqrt{\bigl(\tfrac{dx}{d\theta}\bigr)^{2} +\bigl(\tfrac{dy}{d\theta}\bigr)^{2}} \,d\theta.
Calculando a soma dos quadrados:
\bigl(\tfrac{dx}{d\theta}\bigr)^{2} +\bigl(\tfrac{dy}{d\theta}\bigr)^{2} = r'(\theta)^{2}(\cos^2\theta+\sin^2\theta) + r(\theta)^{2}(\sin^2\theta+\cos^2\theta) = r'(\theta)^{2}+r(\theta)^{2}.
Logo
ds = \sqrt{r(\theta)^{2}+\bigl(r'(\theta)\bigr)^{2}} \,d\theta,
e a integral de caminho fica
\int_{C}f(x,y)\,ds = \int_{\theta_{1}}^{\theta_{2}} f\bigl(r(\theta)\cos\theta,\,r(\theta)\sin\theta\bigr) \sqrt{r(\theta)^{2}+\bigl(r'(\theta)\bigr)^{2}} \,d\theta.

Passo 3

Agora aplicamos ao caso r(\theta)=1+\cos\theta. Temos
r'(\theta)=-\sin\theta,
então
r(\theta)^{2}+\bigl(r'(\theta)\bigr)^{2} = (1+\cos\theta)^{2}+\sin^{2}\theta = 1+2\cos\theta+\cos^2\theta+\sin^2\theta =2+2\cos\theta =4\cos^2\!\bigl(\tfrac\theta2\bigr).
Desse modo
ds=2\bigl|\cos(\tfrac\theta2)\bigr|\,d\theta.

Passo 4

O comprimento total é
L = \int_{0}^{2\pi}ds = \int_{0}^{2\pi}2\bigl|\cos(\tfrac\theta2)\bigr|\,d\theta =2\Bigl(\int_{0}^{\pi}\cos(\tfrac\theta2)\,d\theta +\int_{\pi}^{2\pi}-\cos(\tfrac\theta2)\,d\theta\Bigr).
Fazendo u=\tfrac\theta2:
\int_{0}^{\pi}\cos(\tfrac\theta2)\,d\theta =2\int_{0}^{\tfrac\pi2}\cos u\,du =2, \quad \int_{\pi}^{2\pi}-\cos(\tfrac\theta2)\,d\theta =-2\int_{\tfrac\pi2}^{\pi}\cos u\,du =2.
Portanto
L=2(2+2)=8.

Resposta

(i) 8.
(ii) Conforme demonstrado no Passo 2,
\int_{C}f(x,y)\,ds =\int_{\theta_{1}}^{\theta_{2}} f\bigl(r(\theta)\cos\theta,\,r(\theta)\sin\theta\bigr) \sqrt{r(\theta)^{2}+\bigl(r'(\theta)\bigr)^{2}} \,d\theta.

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