O número
\frac{\int_{\alpha} f(x, y, z) d s}{l(\alpha)}
é chamado valor médio de f ao longo da curva \alpha. Determinar o valor medio de f ao longo de \alpha nos seguintes casos:
f(x, y, z)=y e \alpha(t)=(0, a sent, a \cos t), t \in[0, \pi] ; a>0.

Passo 1

O enunciado pede o valor médio de f ao longo da curva \alpha, que se define por
\frac{1}{l(\alpha)}\int_{\alpha}f\,ds.
Aqui temos f(x,y,z)=y e
\alpha(t) = \bigl(0,\;a\sin t,\;a\cos t\bigr),\quad t\in[0,\pi],\;a>0.
O conteúdo é integral de linha de primeira espécie e comprimento de curva.

Passo 2

Calculamos \alpha'(t) e o elemento de comprimento:
\alpha'(t) = \bigl(0,\;a\cos t,\;-a\sin t\bigr)
\|\alpha'(t)\| = \sqrt{0^2 + (a\cos t)^2 + (-a\sin t)^2} = a,
portanto
ds = \|\alpha'(t)\|\,dt = a\,dt.

Passo 3

O comprimento total de \alpha é
l(\alpha) = \int_{0}^{\pi} ds = \int_{0}^{\pi} a\,dt = a\pi.

Passo 4

A integral de linha de f ao longo de \alpha é
\int_{\alpha}f\,ds = \int_{0}^{\pi} \bigl(a\sin t\bigr)\,(a\,dt) = a^2\int_{0}^{\pi}\sin t\,dt = a^2\bigl[-\cos t\bigr]_{0}^{\pi} = a^2\,(2) = 2a^2.

Passo 5

Finalmente, o valor médio é
\frac{1}{l(\alpha)}\int_{\alpha}f\,ds = \frac{2a^2}{a\pi} = \frac{2a}{\pi}.

Resposta

\displaystyle \frac{2a}{\pi}

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