Calcular as seguintes integrais indefinidas
\int d x / \left(x\left(x^{2}-x+1\right)^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede a antiderivada
\int \frac{dx}{x\,(x^2 - x + 1)^2}.
Este é um caso de função racional em que vamos usar frações parciais para decompor o integrando em termos mais simples.

Passo 2

Fazemos a decomposição
\frac{1}{x\,(x^2 - x + 1)^2} = \frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^2 - x + 1} + \frac{D x + E}{(x^2 - x + 1)^2}.
Multiplicando ambos os lados por x\,(x^2 - x + 1)^2 e comparando coeficientes em x^4,x^3,x^2,x,1, obtemos
A=1,\quad B=-1,\quad C=1,\quad D=-1,\quad E=1.
Logo
\frac{1}{x\,(x^2 - x + 1)^2} = \frac{1}{x} + \frac{-x+1}{x^2 - x + 1} + \frac{-x+1}{(x^2 - x + 1)^2}.

Passo 3

Escrevemos a integral como
\int \frac{dx}{x} \;+\;\int \frac{-x+1}{x^2 - x + 1}\,dx \;+\;\int \frac{-x+1}{(x^2 - x + 1)^2}\,dx.
Chamemos essas três integrais de I_1, I_2 e I_3.

Passo 4

A primeira é imediata:
I_1 = \int \frac{dx}{x} = \ln\lvert x\rvert.

Passo 5

Para
I_2 = \int \frac{-x+1}{x^2 - x + 1}\,dx
fazemos a divisão
-\,x+1 = -\tfrac12\,(2x-1) + \tfrac12,
pois 2x-1 é a derivada de x^2 - x + 1. Então
I_2 = -\tfrac12\int\frac{2x-1}{x^2 - x + 1}\,dx + \tfrac12\int\frac{dx}{x^2 - x + 1}.
A primeira parte é
-\tfrac12\ln\bigl(x^2 - x + 1\bigr),
e a segunda, completando quadrado x^2 - x +1 = (x-\tfrac12)^2 + \tfrac34, dá
\tfrac12\cdot\frac{2}{\sqrt3}\arctan\!\bigl(\tfrac{2x-1}{\sqrt3}\bigr) = \frac{1}{\sqrt3}\arctan\!\bigl(\tfrac{2x-1}{\sqrt3}\bigr).
Portanto
I_2 = -\tfrac12\ln\bigl(x^2 - x + 1\bigr) + \frac{1}{\sqrt3}\arctan\!\bigl(\tfrac{2x-1}{\sqrt3}\bigr).

Passo 6

Para
I_3 = \int \frac{-x+1}{(x^2 - x + 1)^2}\,dx
escrevemos novamente
-\,x+1 = -\tfrac12\,(2x-1) + \tfrac12
de modo que
I_3 = -\tfrac12\int\frac{2x-1}{(x^2 - x + 1)^2}\,dx + \tfrac12\int\frac{dx}{(x^2 - x + 1)^2}.
A primeira parte produz
-\tfrac12\;\bigl(-\bigr)\,d\!\bigl(\tfrac{1}{x^2 - x + 1}\bigr) = \frac{1}{2(x^2 - x + 1)}.
A segunda parte, com u=x-\tfrac12 e a^2=\tfrac34, usa a fórmula
\int \frac{du}{(u^2+a^2)^2} =\frac{u}{2a^2(u^2+a^2)} + \frac{1}{2a^3}\arctan\!\bigl(\tfrac{u}{a}\bigr),
levando a
\tfrac12\!\left[ \frac{2(x-\tfrac12)}{3\bigl(x^2 - x + 1\bigr)} + \frac{4}{3\sqrt3}\arctan\!\bigl(\tfrac{2x-1}{\sqrt3}\bigr) \right].
Somando as duas partes e simplificando coeficientes racionais, obtemos
I_3 = \frac{x+1}{3(x^2 - x + 1)} + \frac{2}{3\sqrt3}\arctan\!\bigl(\tfrac{2x-1}{\sqrt3}\bigr).

Passo 7

Agora somamos I_1+I_2+I_3. O termo logarítmico e o racional em (x^2 - x +1) ficam
\ln\lvert x\rvert -\tfrac12\ln\bigl(x^2 - x + 1\bigr) +\frac{x+1}{3(x^2 - x + 1)},
e os termos de arco-tangente somam
\frac{1}{\sqrt3} + \frac{2}{3\sqrt3} = \frac{5}{3\sqrt3} \quad\text{multiplicando}\;\arctan\!\bigl(\tfrac{2x-1}{\sqrt3}\bigr).
Portanto uma primitiva geral é:

Resposta

\boxed{ \ln\lvert x\rvert -\tfrac12\ln\bigl(x^2 - x + 1\bigr) + \frac{x+1}{3\,(x^2 - x + 1)} + \frac{5}{3\sqrt3}\,\arctan\!\bigl(\tfrac{2x-1}{\sqrt3}\bigr) + C }.

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