Calcular as seguintes integrais indefinidas
Passo 1
O enunciado pede a antiderivada
Este é um caso de função racional em que vamos usar frações parciais para decompor o integrando em termos mais simples.
Passo 2
Fazemos a decomposição
Multiplicando ambos os lados por
e comparando coeficientes em
, obtemos
Logo
Passo 3
Escrevemos a integral como
Chamemos essas três integrais de
,
e
.
Passo 4
A primeira é imediata:
Passo 5
Para
fazemos a divisão
pois
é a derivada de
. Então
A primeira parte é
e a segunda, completando quadrado
, dá
Portanto
Passo 6
Para
escrevemos novamente
de modo que
A primeira parte produz
A segunda parte, com
e
, usa a fórmula
levando a
Somando as duas partes e simplificando coeficientes racionais, obtemos
Passo 7
Agora somamos
. O termo logarítmico e o racional em
ficam
e os termos de arco-tangente somam
Portanto uma primitiva geral é: