Calcular as seguintes integrais indefinidas
\int 5 /\left(x^{3}+4 x\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{5}{x^{3}+4x}\,dx.
Aqui o conteúdo principal é decomposição em frações parciais, pois o integrando é uma função racional cujo grau do numerador é menor que o do denominador.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador em termos de fatores polinomiais simples:
x^{3}+4x = x\,(x^{2}+4).

Passo 3

Vamos escrever a fração como soma de frações parciais:
\frac{5}{x\,(x^{2}+4)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx + C}{x^{2}+4}.
Multiplicando ambos os lados por x\,(x^{2}+4), obtemos
5 = A\,(x^{2}+4) + (Bx + C)\,x.

Passo 4

Expandindo e agrupando termos em potências de x:
5 = A\,x^{2} + 4A + B\,x^{2} + C\,x = (A + B)\,x^{2} + C\,x + 4A.
Como o lado esquerdo é constante, igualamos coeficientes:
A + B = 0,\quad C = 0,\quad 4A = 5.
Daí
A = \frac{5}{4},\quad B = -\frac{5}{4},\quad C = 0.

Passo 5

Reescrevendo a integral com esses valores:
\int \frac{5}{x^{3}+4x}\,dx = \int\Bigl(\frac{5/4}{x} - \frac{5/4\,x}{x^{2}+4}\Bigr)dx = \frac{5}{4}\int \frac{dx}{x} - \frac{5}{4}\int \frac{x\,dx}{x^{2}+4}.
Agora integramos termo a termo:
\int \frac{dx}{x} = \ln\bigl|x\bigr|,\qquad \int \frac{x\,dx}{x^{2}+4} = \frac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}+4\bigr).
Portanto
\int \frac{5}{x^{3}+4x}\,dx = \frac{5}{4}\ln\bigl|x\bigr| - \frac{5}{4}\cdot\frac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}+4\bigr) + C = \frac{5}{4}\ln\bigl|x\bigr| - \frac{5}{8}\ln\bigl(x^{2}+4\bigr) + C.

Resposta

\int \frac{5}{x^{3}+4x}\,dx = \frac{5}{4}\ln\bigl|x\bigr| \;-\; \frac{5}{8}\ln\bigl(x^{2}+4\bigr) + C.

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