Considere a matriz quadrada A=\left[\begin{array}{ccccccc}2 & 0 & 1 & 2 & 3 & \cdots & 2022 \\\\ 2 & x & 1 & 2 & 3 & \cdots & 2022 \\\\ 2 & 0 & x & 2 & 3 & \cdots & 2022 \\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\\\ 2 & 0 & 1 & 2 & 3 & \cdots & x\end{array}\right] de ordem 2024 .
A soma das raízes do polinômio dado por p(x)=\operatorname{det}(A), x \in \mathbb{R}, é
(A) 2024 \times 2023
(B) 2025^{2}
(C) 2024 \times 2025
(D) 1012 \times 2025
(E) 1011 \times 2023

Passo 1

O enunciado dá a matriz quadrada A\) de ordem \(n=2024\) cujas entradas são \[a_{ij} = \begin{cases} 2, & j=1,\\\ x, & j=i\ge2,\\\ j-2, & j\ge2,\\ j\neq i. \end{cases}
Queremos o polinômio (p(x)=\det(A)] e a soma de suas raízes reais. Vamos usar operações elementares para simplificar o cálculo do determinante.

Passo 2

Aplicamos, para cada i=2,3,\dots,2024, a operação de linha
\text{linha}_i \;\longleftarrow\;\text{linha}_i - \text{linha}_1,
que não altera \det(A). Denotemos por A' a matriz obtida.

Passo 3

Em A', a primeira linha continua sendo
(2,\;0,\;1,\;2,\ldots,2022),
enquanto, para i\ge2, a linha i tem zeros em todas as colunas, exceto na coluna i, onde vale
a'_{i,i} \;=\;x - (i-2).
Logo A' é “quase diagonal” e só a permutação identidade contribui para o determinante.

Passo 4

Dessa forma
\det(A) =\det(A') =\,a'_{1,1}\,\prod_{i=2}^{2024}a'_{i,i} =2\;\prod_{i=2}^{2024}\bigl(x-(i-2)\bigr) =2\;\prod_{k=0}^{2022}(x-k).
Assim as raízes de p(x) são x=0,1,2,\ldots,2022.

Passo 5

A soma das raízes é
\sum_{k=0}^{2022}k =\frac{2022\cdot2023}{2} =1011\cdot2023.

Resposta

(E) 1011\times2023

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