Calcular as seguintes integrais indefinidas
\int d x /\left(\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+4\right)\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{dx}{\bigl(x^{2}+1\bigr)\bigl(x^{2}+4\bigr)}.
O conteúdo aqui é integração de uma função racional com quadráticos irreduzíveis, e vamos precisar usar frações parciais e a fórmula
\int \frac{dx}{x^{2}+a^{2}} = \frac{1}{a}\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{a}\bigr) + C.

Passo 2

Fazemos a decomposição em frações parciais na forma
\frac{1}{\bigl(x^{2}+1\bigr)\bigl(x^{2}+4\bigr)} = \frac{A}{x^{2}+1} + \frac{B}{x^{2}+4}.
Multiplicando ambos os lados por (x^{2}+1)(x^{2}+4), obtemos
1 = A\,(x^{2}+4) + B\,(x^{2}+1).

Passo 3

Agrupando os termos em x^{2} e os constantes, temos
1 = (A+B)\,x^{2} + (4A + B).
Como o lado direito deve ser igual a 1 para todo x, igualamos coeficientes:
A + B = 0, \qquad 4A + B = 1.

Passo 4

Resolvendo o sistema:
A = -B, \qquad 4A + B = 1 \;\Longrightarrow\; 4A - A = 1 \;\Longrightarrow\; 3A = 1 \;\Longrightarrow\; A = \tfrac13, \quad B = -\tfrac13.

Passo 5

Substituindo na integral,
\int \frac{dx}{(x^{2}+1)(x^{2}+4)} = \frac{1}{3}\int \frac{dx}{x^{2}+1} - \frac{1}{3}\int \frac{dx}{x^{2}+4}.

Passo 6

Agora aplicamos a fórmula de arctan em cada parcela:
\int \frac{dx}{x^{2}+1} = \arctan(x), \qquad \int \frac{dx}{x^{2}+4} = \int \frac{dx}{x^{2}+(2)^{2}} = \frac{1}{2}\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr).
Logo,
\frac{1}{3}\arctan(x) - \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr) = \frac{1}{3}\arctan(x) - \frac{1}{6}\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr).

Resposta

\int \frac{dx}{(x^{2}+1)(x^{2}+4)} = \frac{1}{3}\arctan(x) - \frac{1}{6}\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr) + C.

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