Calcular as seguintes integrais indefinidas:
\int \frac{2}{x^{4}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{2}{x^{4}}\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é \dfrac{2}{x^{4}}.
  • A variável de integração é x.
  • Espera-se uma primitiva (integração indefinida), portanto incluir a constante de integração C.

Passo 2

Primeiro passo prático: reescrever a função usando potências para aplicar a regra de potência.
\frac{2}{x^{4}} = 2x^{-4}.
Reescrever assim facilita porque temos uma potência de x.

Passo 3

Regra de integração usada (regra da potência):
Para todo n \neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
Por que isso funciona? Porque a derivada de \dfrac{x^{n+1}}{n+1} é
\frac{d}{dx}\left(\frac{x^{n+1}}{n+1}\right) = \frac{n+1}{n+1}x^{n} = x^{n},
logo essa expressão é uma primitiva de x^{n}.
Também vale a propriedade da linearidade: constantes podem sair da integral,
ou seja, \int a\cdot f(x)\,dx = a\int f(x)\,dx para constante a.

Passo 4

Aplicando essas ideias à nossa integral:
\int \frac{2}{x^{4}}\,dx = \int 2x^{-4}\,dx = 2\int x^{-4}\,dx.
Agora use a regra da potência com n=-4:
\int x^{-4}\,dx = \frac{x^{-4+1}}{-4+1} + C = \frac{x^{-3}}{-3} + C.

Passo 5

Multiplicando pela constante 2 e simplificando:
2\cdot\left(\frac{x^{-3}}{-3}\right) + C = -\frac{2}{3}x^{-3} + C.
Em forma de fração com potência positiva no denominador:
-\frac{2}{3x^{3}} + C.
Aqui C é a constante de integração.

Passo 6

Checagem rápida (derivando a primitiva para ver se volta ao integrando):
Tomando F(x) = -\dfrac{2}{3}x^{-3},
F'(x) = -\frac{2}{3}\cdot(-3)x^{-4} = 2x^{-4} = \frac{2}{x^{4}},
que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

-\dfrac{2}{3x^{3}} + C

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