Calcular as seguintes integrais indefinidas:
Passo 1
Vamos entender claramente o que o enunciado pede e o que nos é dado. O problema pede para calcular a integral indefinida
Informações relevantes:
- A variável de integração é
. - A função a integrar é
, ou seja, uma potência de com expoente . - O resultado deve ser uma família de primitivas, isto é, uma expressão mais uma constante de integração
.
Passo 2
Regra que vou usar (regra da potência para integrais):
Seja um número real diferente de
. Então a primitiva de
é dada por
Seja
onde
é a constante de integração. Explicando por que isso funciona: se derivarmos
obtemos
então
é realmente uma primitiva de
. Importante: não podemos aplicar essa fórmula quando
(porque aí dividiríamos por zero) — nesse caso a integral é
. Também é bom notar que, para expoentes fracionários cujo denominador é par (como
), a função
está definida como função real apenas para
; a primitiva fornecida valerá em qualquer intervalo onde
seja bem definida e contínua (por exemplo
ou
).
Passo 3
Agora aplico a regra com
. Primeiro calculemos
:
Passo 4
Usando a fórmula da potência:
Para simplificar a fração, lembramos que dividir por
é multiplicar por
. Assim:
Passo 5
Escrevendo a primitiva final e acrescentando a constante de integração
:
Forma alternativa (útil para interpretar a potência):
, então outra escrita equivalente é
Passo 6
Verificação rápida (como checar na prova): derivando
obtém-se
portanto está correto. Força aí — essa aplicação da regra da potência cai sempre em prova quando o expoente não é
!