Calcular as seguintes integrais indefinidas:
\int x^{5 / 2} d x

Passo 1

Vamos entender claramente o que o enunciado pede e o que nos é dado. O problema pede para calcular a integral indefinida
\int x^{5/2}\,dx.
Informações relevantes:
  • A variável de integração é x.
  • A função a integrar é x^{5/2}, ou seja, uma potência de x com expoente \dfrac{5}{2}.
  • O resultado deve ser uma família de primitivas, isto é, uma expressão mais uma constante de integração C.

Passo 2

Regra que vou usar (regra da potência para integrais):
Seja n um número real diferente de -1. Então a primitiva de x^{n} é dada por
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,
onde C é a constante de integração. Explicando por que isso funciona: se derivarmos \dfrac{x^{n+1}}{n+1} obtemos
\frac{d}{dx}\left(\frac{x^{n+1}}{n+1}\right)=\frac{n+1}{n+1}\,x^{n}=x^{n},
então \dfrac{x^{n+1}}{n+1} é realmente uma primitiva de x^{n}. Importante: não podemos aplicar essa fórmula quando n=-1 (porque aí dividiríamos por zero) — nesse caso a integral é \ln|x|. Também é bom notar que, para expoentes fracionários cujo denominador é par (como \tfrac{5}{2}), a função x^{5/2} está definida como função real apenas para x\ge 0; a primitiva fornecida valerá em qualquer intervalo onde x^{5/2} seja bem definida e contínua (por exemplo [0,\infty) ou (0,\infty)).

Passo 3

Agora aplico a regra com n=\dfrac{5}{2}. Primeiro calculemos n+1:
n+1=\frac{5}{2}+1=\frac{5}{2}+\frac{2}{2}=\frac{7}{2}.

Passo 4

Usando a fórmula da potência:
\int x^{5/2}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C=\frac{x^{7/2}}{7/2}+C.
Para simplificar a fração, lembramos que dividir por \dfrac{7}{2} é multiplicar por \dfrac{2}{7}. Assim:
\frac{x^{7/2}}{7/2}=\frac{2}{7}\,x^{7/2}.

Passo 5

Escrevendo a primitiva final e acrescentando a constante de integração \,C:
\int x^{5/2}\,dx=\frac{2}{7}\,x^{7/2}+C.
Forma alternativa (útil para interpretar a potência): \displaystyle x^{7/2}=x^{3}\sqrt{x}, então outra escrita equivalente é
\frac{2}{7}\,x^{7/2}=\frac{2}{7}\,x^{3}\sqrt{x}.

Passo 6

Verificação rápida (como checar na prova): derivando \dfrac{2}{7}x^{7/2} obtém-se
\frac{d}{dx}\left(\frac{2}{7}x^{7/2}\right)=\frac{2}{7}\cdot\frac{7}{2}x^{5/2}=x^{5/2},
portanto está correto. Força aí — essa aplicação da regra da potência cai sempre em prova quando o expoente não é -1!

Resposta

\dfrac{2}{7}x^{7/2}+C

Exercícios relacionados