Encontre a soluçāo geral da equação diferencial dada.
9 y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
9\,y^{\prime\prime}-6\,y^{\prime}+y=0
trata-se de uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos usar a equação característica.

Passo 2

Formamos a equação característica associada:
9\,r^2 - 6\,r + 1 = 0

Passo 3

Calculamos o discriminante:
\Delta = (-6)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 1 = 36 - 36 = 0
Logo, a equação característica tem uma raiz dupla.

Passo 4

A raiz repetida é
r = \frac{-(-6)}{2 \cdot 9} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}
Para raiz dupla r, a solução geral da EDO é dada por
y(x) = \bigl(C_1 + C_2\,x\bigr)\,e^{r x}.

Resposta

A solução geral é
y(x) = \bigl(C_1 + C_2\,x\bigr)\,e^{\tfrac{x}{3}}.

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