Calcular as seguintes integrais:
\int \frac{6 x^{4}+2 x^{3}-2 x^{2}-5 x-22}{(x+1)^{2}(x-2)\left(x^{2}+4\right)} d x;

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral
\int \frac{6 x^{4}+2 x^{3}-2 x^{2}-5 x-22}{(x+1)^{2}(x-2)\left(x^{2}+4\right)}\,dx.
Informações dadas e observações imediatas:
  • O integrando é uma função racional (quilhomento de polinômios).
  • O denominador fatorou-se como (x+1)^{2}(x-2)(x^{2}+4).
  • A tarefa é encontrar uma antiderivada (primitiva) dessa função racional, isto é, um F(x) tal que F'(x) seja o integrando.

Passo 2

Primeiro passo técnico: verificar se o polinômio do numerador tem grau menor que o do denominador (para saber se já é uma fração própria).
  • Grau do numerador: \deg(6x^{4}+2x^{3}-2x^{2}-5x-22)=4.
  • Grau do denominador: \deg\big((x+1)^{2}(x-2)(x^{2}+4)\big)=2+1+2=5.
    Como 4<5, a fração é própria e podemos aplicar decomposição em frações parciais sem divisão polinomial prévia.

Passo 3

Forma da decomposição em frações parciais: para cada fator linear simples (x-a) aparece uma constante sobre (x-a); para fator linear repetido (x-a)^2 colocamos termos até a ordem 2; para fator quadrático irreduzível (x^{2}+4) usamos um numerador linear. Assim a forma geral é
\frac{6 x^{4}+2 x^{3}-2 x^{2}-5 x-22}{(x+1)^{2}(x-2)\left(x^{2}+4\right)} = \frac{A}{x+1}+\frac{B}{(x+1)^{2}}+\frac{C}{x-2}+\frac{Dx+E}{x^{2}+4},
onde A,B,C,D,E são constantes reais a determinar.

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por (x+1)^{2}(x-2)(x^{2}+4) para eliminar denominadores obtemos a identidade polinomial
6 x^{4}+2 x^{3}-2 x^{2}-5 x-22 = A(x+1)(x-2)(x^{2}+4)+B(x-2)(x^{2}+4)+C(x+1)^{2}(x^{2}+4)+(Dx+E)(x+1)^{2}(x-2).
Essa igualdade vale para todo x. Podemos obter equações para A,B,C,D,E escolhendo valores convenientes de x e comparando coeficientes.

Passo 5

Escolher x=-1 (anula termos com fatores (x+1) e (x+1)^2):
  • Lado esquerdo: substituindo x=-1,
6(-1)^{4}+2(-1)^{3}-2(-1)^{2}-5(-1)-22 = 6-2-2+5-22 = -15.
  • Lado direito: só sobrevive o termo com B: B(-1-2)((-1)^{2}+4)=B(-3)(1+4)=B(-15).
    Logo -15 = -15B e portanto
B=1.

Passo 6

Escolher x=2 (anula fatores com (x-2)):
  • Lado esquerdo:
6\cdot 2^{4}+2\cdot 2^{3}-2\cdot 2^{2}-5\cdot 2-22 = 96+16-8-10-22 = 72.
  • Lado direito: só sobrevive o termo com C: C(2+1)^{2}(2^{2}+4)=C\cdot 9\cdot 8 =72C.
    Logo 72=72C e assim
C=1.

Passo 7

Escolher x=0 para obter uma equação simples:
  • Lado esquerdo: 6\cdot0+2\cdot0-2\cdot0-5\cdot0-22 = -22.
  • Lado direito: calcule cada termo em x=0:
    • A(0+1)(0-2)(0^{2}+4)=A\cdot1\cdot(-2)\cdot4 = -8A.
    • B(0-2)(0^{2}+4)=B\cdot(-2)\cdot4 = -8B = -8\cdot1 = -8.
    • C(0+1)^{2}(0^{2}+4)=C\cdot1\cdot4 = 4\cdot1 = 4.
    • (D\cdot 0+E)(0+1)^{2}(0-2) = E\cdot1\cdot(-2) = -2E.
      Somando:
-8A -8 +4 -2E = -22.
Simplificando:
-8A -2E -4 = -22 \quad\Rightarrow\quad -8A -2E = -18.
Dividindo por -2:
4A + E = 9.
Chamaremos isto de equação (1): \;4A+E=9.

Passo 8

Escolher x=1:
  • Lado esquerdo: 6\cdot1^{4}+2\cdot1^{3}-2\cdot1^{2}-5\cdot1-22 = 6+2-2-5-22 = -21.
  • Lado direito, termo a termo:
    • A(1+1)(1-2)(1^{2}+4)=A\cdot2\cdot(-1)\cdot5 = -10A.
    • B(1-2)(1^{2}+4)=1\cdot(-1)\cdot5 = -5.
    • C(1+1)^{2}(1^{2}+4)=1\cdot4\cdot5 = 20.
    • (D\cdot1+E)(1+1)^{2}(1-2)=(D+E)\cdot4\cdot(-1) = -4(D+E).
      Somando:
-10A -5 +20 -4D -4E = -10A +15 -4D -4E.
Igualando a -21:
-10A +15 -4D -4E = -21 \quad\Rightarrow\quad -10A -4D -4E = -36.
Multiplicando por -1 e dividindo por 1:
10A +4D +4E = 36 \quad\Rightarrow\quad 5A +2D +2E = 18.
Chamaremos isto de equação (2): \;5A+2D+2E=18.

Passo 9

Escolher x=-2:
  • Lado esquerdo: calcule
6(-2)^{4}+2(-2)^{3}-2(-2)^{2}-5(-2)-22 = 6\cdot16 -16 -8 +10 -22 = 96-16-8+10-22 = 60.
  • Lado direito:
    • A(-2+1)(-2-2)((-2)^{2}+4)=A(-1)(-4)(4+4)=A\cdot4\cdot8 =32A.
    • B(-2-2)((-2)^{2}+4)=1\cdot(-4)\cdot8 = -32.
    • C(-2+1)^{2}((-2)^{2}+4)=1\cdot1\cdot8 = 8.
    • (D(-2)+E)(-2+1)^{2}(-2-2)=(-2D+E)\cdot1\cdot(-4) = -4(-2D+E) = 8D -4E.
      Somando:
32A -32 +8 +8D -4E = 32A -24 +8D -4E.
Igualando a 60:
32A -24 +8D -4E = 60 \quad\Rightarrow\quad 32A +8D -4E = 84.
Dividindo por 4:
8A +2D -E = 21.
Chamaremos isto de equação (3): \;8A+2D-E=21.

Passo 10

Resolver o sistema formado por (1), (2), (3):
As equações são
\begin{cases} 4A + E = 9 &\text{(1)}\\[4pt] 5A + 2D + 2E = 18 &\text{(2)}\\[4pt] 8A + 2D - E = 21 &\text{(3)} \end{cases}
Da (1) temos E = 9 - 4A. Substituindo E em (3):
8A + 2D - (9 - 4A) = 21 \quad\Rightarrow\quad 8A + 2D -9 +4A =21,
logo
12A + 2D = 30 \quad\Rightarrow\quad 6A + D = 15 \quad\Rightarrow\quad D = 15 - 6A.
Agora substituímos D e E em (2):
5A + 2(15-6A) + 2(9-4A) = 18.
Calcule:
5A + 30 -12A + 18 -8A = 18 \quad\Rightarrow\quad (5-12-8)A + 48 = 18.
-15A + 48 = 18 \quad\Rightarrow\quad -15A = -30 \quad\Rightarrow\quad A = 2.
Com A=2 obtemos:
E = 9 - 4A = 9 - 8 = 1,
D = 15 - 6A = 15 - 12 = 3.
Já tínhamos B=1 e C=1. Assim os coeficientes são:
A=2,\quad B=1,\quad C=1,\quad D=3,\quad E=1.]

Passo 11

Escrever a fração parcial com os valores encontrados:
\frac{6 x^{4}+2 x^{3}-2 x^{2}-5 x-22}{(x+1)^{2}(x-2)\left(x^{2}+4\right)} = \frac{2}{x+1}+\frac{1}{(x+1)^{2}}+\frac{1}{x-2}+\frac{3x+1}{x^{2}+4}.

Passo 12

Agora integramos termo a termo. Lembretes de fórmulas básicas usadas:
  • \displaystyle \int \frac{1}{x+a}\,dx = \ln|x+a|+C.
  • \displaystyle \int (x+a)^{-2}\,dx = -\frac{1}{x+a}+C.
  • \displaystyle \int \frac{x}{x^{2}+a^{2}}\,dx = \frac{1}{2}\ln(x^{2}+a^{2})+C (porque com u=x^{2}+a^{2} temos du=2x\,dx).
  • \displaystyle \int \frac{1}{x^{2}+a^{2}}\,dx = \frac{1}{a}\arctan\!\left(\dfrac{x}{a}\right)+C.
Aplicando a cada termo:
  1. \displaystyle \int \frac{2}{x+1}\,dx = 2\ln|x+1|.
  2. \displaystyle \int \frac{1}{(x+1)^{2}}\,dx = \int (x+1)^{-2}\,dx = -\frac{1}{x+1}.
  3. \displaystyle \int \frac{1}{x-2}\,dx = \ln|x-2|.
  4. \displaystyle \int \frac{3x+1}{x^{2}+4}\,dx:
  • Dividir em duas parcelas: \dfrac{3x}{x^{2}+4}+\dfrac{1}{x^{2}+4}.
  • Para \dfrac{3x}{x^{2}+4}: usar u=x^{2}+4, du=2x\,dx. Então
\int \frac{3x}{x^{2}+4}\,dx = \frac{3}{2}\int \frac{du}{u} = \frac{3}{2}\ln(x^{2}+4).
  • Para \dfrac{1}{x^{2}+4}: aqui a=2, logo
\int \frac{1}{x^{2}+4}\,dx = \frac{1}{2}\arctan\!\left(\frac{x}{2}\right).
Somando:
\int \frac{3x+1}{x^{2}+4}\,dx = \frac{3}{2}\ln(x^{2}+4) + \frac{1}{2}\arctan\!\left(\frac{x}{2}\right).

Passo 13

Somando todas as primitivas obtidas e acrescentando a constante de integração C, obtemos a antiderivada completa:
\int \frac{6 x^{4}+2 x^{3}-2 x^{2}-5 x-22}{(x+1)^{2}(x-2)\left(x^{2}+4\right)}\,dx = 2\ln|x+1| - \frac{1}{x+1} + \ln|x-2| + \frac{3}{2}\ln(x^{2}+4) + \frac{1}{2}\arctan\!\left(\frac{x}{2}\right) + C.

Resposta

2\ln|x+1| - \dfrac{1}{x+1} + \ln|x-2| + \dfrac{3}{2}\ln(x^{2}+4) + \dfrac{1}{2}\arctan!\left(\dfrac{x}{2}\right) + C

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