Calcular as seguintes integrais:
\int \frac{x^{5}-x^{4}+3 x^{3}-4 x^{2}+x-2}{\left(x^{2}+1\right)^{2} x^{2}} d x.

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
\int \frac{x^{5}-x^{4}+3 x^{3}-4 x^{2}+x-2}{\left(x^{2}+1\right)^{2} x^{2}}\,dx.
Informações dadas (resumindo o que temos no integrando):
\text{numerador } = x^{5}-x^{4}+3 x^{3}-4 x^{2}+x-2,
\text{denominador } = x^{2}\,(x^{2}+1)^{2}.
O objetivo é encontrar uma primitiva (ou família de primitivas) dessa função racional.

Passo 2

Escolha do método: como temos uma função racional (polinômio dividido por polinômio) com grau do numerador menor que o do denominador, o método natural é decomposição em frações parciais. Vou explicar o porquê: frações parciais transformam a integral em soma de integrais elementares do tipo \int 1/x\,dx, \int 1/(x^{2}+1)\,dx, \int 1/(x^{2}+1)^{2}\,dx, etc., que sabemos integrar.
Regra para montar a decomposição: para o fator x^{2} (potência 2) usamos termos \dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x^{2}}. Para o fator (x^{2}+1)^{2} usamos termos \dfrac{Cx+D}{x^{2}+1}+\dfrac{Ex+F}{(x^{2}+1)^{2}}. Assim a forma geral é
\frac{x^{5}-x^{4}+3x^{3}-4x^{2}+x-2}{x^{2}(x^{2}+1)^{2}} = \frac{A}{x}+\frac{B}{x^{2}}+\frac{Cx+D}{x^{2}+1}+\frac{Ex+F}{(x^{2}+1)^{2}}.

Passo 3

Multiplico ambos os lados pela denominação comum x^{2}(x^{2}+1)^{2} para obter uma identidade polinomial:
x^{5}-x^{4}+3x^{3}-4x^{2}+x-2 = A\,x\,(x^{2}+1)^{2} + B\,(x^{2}+1)^{2} + (Cx+D)\,x^{2}(x^{2}+1) + (Ex+F)\,x^{2}.
Agora vou expandir cada termo passo a passo, usando (x^{2}+1)^{2}=x^{4}+2x^{2}+1:
  • A\,x\,(x^{2}+1)^{2} = A\,(x^{5}+2x^{3}+x).
  • B\,(x^{2}+1)^{2} = B\,(x^{4}+2x^{2}+1).
  • (Cx+D)\,x^{2}(x^{2}+1) = (Cx+D)\,(x^{4}+x^{2}) = Cx^{5}+Cx^{3}+Dx^{4}+Dx^{2}.
  • (Ex+F)\,x^{2} = Ex^{3}+Fx^{2}.
Somando tudo, os coeficientes para cada potência de x são:
\begin{aligned} x^{5}:&\quad A + C,\\\ x^{4}:&\quad B + D,\\\ x^{3}:&\quad 2A + C + E,\\\ x^{2}:&\quad 2B + D + F,\\\ x^{1}:&\quad A,\\\ x^{0}:&\quad B. \end{aligned}
Esses devem ser iguais aos coeficientes do polinômio do lado esquerdo:
\begin{aligned} x^{5}:&\quad 1,\\\ x^{4}:&\quad -1,\\\ x^{3}:&\quad 3,\\\ x^{2}:&\quad -4,\\\ x^{1}:&\quad 1,\\\ x^{0}:&\quad -2. \end{aligned}

Passo 4

Formo o sistema de equações igualando coeficientes:
\begin{cases} A + C = 1,\\[4pt] B + D = -1,\\[4pt] 2A + C + E = 3,\\[4pt] 2B + D + F = -4,\\[4pt] A = 1,\\[4pt] B = -2. \end{cases}
Já da quinta e sexta equações temos imediatamente \,A=1 e \,B=-2.
Usando \,A=1 na primeira equação:
1 + C = 1 \implies C = 0.
Usando A=1 e C=0 na terceira equação:
2\cdot 1 + 0 + E = 3 \implies 2 + E = 3 \implies E = 1.
Usando B=-2 na segunda equação:
-2 + D = -1 \implies D = 1.
Usando B=-2 e D=1 na quarta equação:
2(-2) + 1 + F = -4 \implies -4 +1 + F = -4 \implies F = -1.
Portanto os coeficientes são
A=1,\quad B=-2,\quad C=0,\quad D=1,\quad E=1,\quad F=-1.]

Passo 5

Com esses valores, a decomposição fica:
\frac{x^{5}-x^{4}+3x^{3}-4x^{2}+x-2}{x^{2}(x^{2}+1)^{2}} = \frac{1}{x}-\frac{2}{x^{2}}+\frac{1}{x^{2}+1}+\frac{x-1}{(x^{2}+1)^{2}}.
Agora integramos termo a termo:
\int\frac{1}{x}\,dx - \int\frac{2}{x^{2}}\,dx + \int\frac{1}{x^{2}+1}\,dx + \int\frac{x-1}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx.

Passo 6

Integrais simples explicados:
  1. \displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C.
    (Aqui x é a variável; lembrando que a primitiva de 1/x é logaritmo natural.)
  2. \displaystyle \int -\frac{2}{x^{2}}\,dx = -2\int x^{-2}\,dx = -2\cdot(-x^{-1}) = \frac{2}{x}.
  3. \displaystyle \int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx = \arctan x.
  4. Para \displaystyle \int \frac{x-1}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx separamos:
\int \frac{x}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx \;-\; \int \frac{1}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx.
  • Para \displaystyle \int \frac{x}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx usamos a substituição u=x^{2}+1, então du=2x\,dx, ou x\,dx=\tfrac{1}{2}du. Assim
\int \frac{x}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx = \frac{1}{2}\int u^{-2}\,du = \frac{1}{2}\cdot\left(-\frac{1}{u}\right) = -\frac{1}{2(x^{2}+1)}.
  • Para \displaystyle \int \frac{1}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx podemos usar uma primitiva conhecida. Uma forma simples de obter a primitiva é observar que a derivada de \dfrac{x}{x^{2}+1} mais um múltiplo de \arctan x produz 1/(x^{2}+1)^{2}. Verificando (ou lembrando a fórmula),
\int \frac{1}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx = \frac{1}{2}\left(\arctan x + \frac{x}{x^{2}+1}\right).
(Se quiser, podemos derivar essa expressão para checar que ela dá exatamente 1/(x^{2}+1)^{2}.)
  • Portanto
\int \frac{x-1}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx = -\frac{1}{2(x^{2}+1)} - \frac{1}{2}\left(\arctan x + \frac{x}{x^{2}+1}\right).
Agrupando os termos racionais sobre x^{2}+1 obtemos
\int \frac{x-1}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx = -\frac{1}{2}\arctan x \;-\; \frac{1}{2}\cdot\frac{x+1}{x^{2}+1}.

Passo 7

Agora somo todas as partes obtidas:
  • de \dfrac{1}{x} veio \ln|x|,
  • de -\dfrac{2}{x^{2}} veio \dfrac{2}{x},
  • de \dfrac{1}{x^{2}+1} veio \arctan x,
  • do último bloco veio -\dfrac{1}{2}\arctan x -\dfrac{1}{2}\dfrac{x+1}{x^{2}+1}.
Somando os \arctan temos \arctan x -\tfrac{1}{2}\arctan x = \tfrac{1}{2}\arctan x. Assim a primitiva final é
\ln|x| + \frac{2}{x} + \frac{1}{2}\arctan x - \frac{1}{2}\,\frac{x+1}{x^{2}+1} + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

\displaystyle \ln|x|+\frac{2}{x}+\frac{1}{2}\arctan x-\frac{1}{2}\cdot\frac{x+1}{x^{2}+1}+C

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