O objetivo é encontrar uma primitiva (ou família de primitivas) dessa função racional.
Passo 2
Escolha do método: como temos uma função racional (polinômio dividido por polinômio) com grau do numerador menor que o do denominador, o método natural é decomposição em frações parciais. Vou explicar o porquê: frações parciais transformam a integral em soma de integrais elementares do tipo \int 1/x\,dx, \int 1/(x^{2}+1)\,dx, \int 1/(x^{2}+1)^{2}\,dx, etc., que sabemos integrar.
Regra para montar a decomposição: para o fator x^{2} (potência 2) usamos termos \dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x^{2}}. Para o fator (x^{2}+1)^{2} usamos termos \dfrac{Cx+D}{x^{2}+1}+\dfrac{Ex+F}{(x^{2}+1)^{2}}. Assim a forma geral é
Para \displaystyle \int \frac{1}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx podemos usar uma primitiva conhecida. Uma forma simples de obter a primitiva é observar que a derivada de \dfrac{x}{x^{2}+1} mais um múltiplo de \arctan x produz 1/(x^{2}+1)^{2}. Verificando (ou lembrando a fórmula),
\int \frac{1}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx = \frac{1}{2}\left(\arctan x + \frac{x}{x^{2}+1}\right).
(Se quiser, podemos derivar essa expressão para checar que ela dá exatamente 1/(x^{2}+1)^{2}.)
Portanto
\int \frac{x-1}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx = -\frac{1}{2(x^{2}+1)} - \frac{1}{2}\left(\arctan x + \frac{x}{x^{2}+1}\right).
Agrupando os termos racionais sobre x^{2}+1 obtemos
\int \frac{x-1}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx = -\frac{1}{2}\arctan x \;-\; \frac{1}{2}\cdot\frac{x+1}{x^{2}+1}.
Passo 7
Agora somo todas as partes obtidas:
de \dfrac{1}{x} veio \ln|x|,
de -\dfrac{2}{x^{2}} veio \dfrac{2}{x},
de \dfrac{1}{x^{2}+1} veio \arctan x,
do último bloco veio -\dfrac{1}{2}\arctan x -\dfrac{1}{2}\dfrac{x+1}{x^{2}+1}.
Somando os \arctan temos \arctan x -\tfrac{1}{2}\arctan x = \tfrac{1}{2}\arctan x. Assim a primitiva final é
\ln|x| + \frac{2}{x} + \frac{1}{2}\arctan x - \frac{1}{2}\,\frac{x+1}{x^{2}+1} + C,