Calcular as seguintes integrais:
\int \frac{x^{3}-x+1}{x^{2}(x-1)^{3}} d x.

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a primitiva (integração indefinida) da função
\frac{x^{3}-x+1}{x^{2}(x-1)^{3}}.
Informações dadas relevantes:
\text{Integrando } \int \frac{x^{3}-x+1}{x^{2}(x-1)^{3}}\,dx.
Não há outra condição (é uma integral indefinida). Vamos resolver encontrando uma antiderivada explícita.

Passo 2

Escolha do método: fracionamento em frações parciais. Explico por que:
  • A integranda é uma função racional (quociente de polinômios).
  • Grau do numerador é 3 e grau do denominador é 2+3=5; como 3<5, já é uma fração própria, então aplicamos diretamente frações parciais.
  • O denominador fatoriza em fatores lineares repetidos \;x^{2} e (x-1)^{3}, então a forma padrão de decomposição é conhecida (vou mostrar no passo seguinte).

Passo 3

Forma geral da decomposição em frações parciais para fatores repetidos:
para \dfrac{x^{3}-x+1}{x^{2}(x-1)^{3}} assumimos
\frac{x^{3}-x+1}{x^{2}(x-1)^{3}}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^{2}}+\frac{C}{x-1}+\frac{D}{(x-1)^{2}}+\frac{E}{(x-1)^{3}},
onde A,B,C,D,E são constantes que vamos determinar. Aqui cada potência do fator gerou um termo independente — essa é a regra para fatores lineares repetidos.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por x^{2}(x-1)^{3} para obter uma identidade polinomial:
x^{3}-x+1 = A\,x\,(x-1)^{3} + B\,(x-1)^{3} + C\,x^{2}(x-1)^{2} + D\,x^{2}(x-1) + E\,x^{2}.
Agora vamos determinar A,B,C,D,E escolhendo valores convenientes de x e, quando necessário, montando sistemas lineares.

Passo 5

Avalio a identidade em x=0. À esquerda:
x^{3}-x+1 \big|_{x=0} = 1.
À direita, os termos com fator x desaparecem, sobra apenas B\,(0-1)^{3}=B(-1)^{3}=-B. Logo
1 = -B \quad\Rightarrow\quad B=-1.

Passo 6

Avalio em x=1. À esquerda:
x^{3}-x+1 \big|_{x=1} = 1-1+1 = 1.
À direita, todos os termos com fator (x-1) desaparecem, sobrando E\cdot 1^{2}=E. Logo
1 = E \quad\Rightarrow\quad E=1.

Passo 7

Avalio em x=2. À esquerda:
x^{3}-x+1 \big|_{x=2} = 8-2+1 = 7.
À direita calculo cada termo em x=2:
A\cdot 2\cdot(1)^{3}=2A,\quad B\cdot(1)^{3}=B,\quad C\cdot 4\cdot(1)^{2}=4C,\quad D\cdot 4\cdot 1=4D,\quad E\cdot 4=4E.
Somando:
7 = 2A + B + 4C + 4D + 4E.
Substituindo B=-1 e E=1:
7 = 2A -1 +4C +4D +4 \implies 4 = 2A +4C +4D.
Dividindo por 2:
\boxed{A + 2C + 2D = 2}\quad\text{(equação (1)).}çã

Passo 8

Avalio em x=-1. À esquerda:
x^{3}-x+1 \big|_{x=-1} = -1 +1 +1 = 1.
À direita, calculando cada termo em x=-1:
A\cdot(-1)\cdot(-2)^{3}=A\cdot(-1)\cdot(-8)=8A,
B\cdot(-2)^{3}=-8B,
C\cdot 1\cdot(-2)^{2}=4C,
D\cdot 1\cdot(-2)=-2D,
E\cdot 1 = E.
Somando:
1 = 8A -8B +4C -2D + E.
Substituindo B=-1 e E=1:
1 = 8A -8(-1) +4C -2D +1 \implies 1 = 8A +8 +4C -2D +1.
Simplificando:
-8 = 8A +4C -2D.
Dividindo por 2:
\boxed{4A + 2C - D = -4}\quad\text{(equação (2)).}çã

Passo 9

Avalio em x=3. À esquerda:
x^{3}-x+1 \big|_{x=3} = 27 -3 +1 = 25.
À direita, em x=3:
A\cdot 3\cdot 2^{3}=24A,\quad B\cdot 2^{3}=8B,\quad C\cdot 9\cdot 2^{2}=36C,
D\cdot 9\cdot 2=18D,\quad E\cdot 9=9E.
Somando:
25 = 24A + 8B + 36C + 18D + 9E.
Substituindo B=-1 e E=1:
25 = 24A -8 +36C +18D +9 \implies 25 = 24A +36C +18D +1.
Simplificando:
24 = 24A +36C +18D.
Dividindo por 6:
\boxed{4 = 4A + 6C + 3D}\quad\text{(equação (3)).}çã

Passo 10

Agora resolvemos o sistema formado pelas equações (1), (2), (3):
\begin{cases} A + 2C + 2D = 2 &\text{(1)}\\[4pt] 4A + 2C - D = -4 &\text{(2)}\\[4pt] 4A + 6C + 3D = 4 &\text{(3)} \end{cases}
Subtraindo (2) de (3):
(4A+6C+3D)-(4A+2C-D)=4-(-4) \implies 4C+4D=8 \implies C+D=2.
Daí D=2-C. Substituo em (1):
A + 2C + 2(2-C)=2 \implies A +2C +4 -2C =2 \implies A+4=2 \implies A=-2.
Com A=-2 uso (2) para achar C:
4(-2)+2C - D = -4 \implies -8 +2C -D = -4 \implies 2C - D =4.
Substituo D=2-C:
2C - (2-C) =4 \implies 2C -2 + C =4 \implies 3C =6 \implies C=2.
Então D=2-C=0. Já tínhamos B=-1 e E=1. Resumo:
A=-2,\quad B=-1,\quad C=2,\quad D=0,\quad E=1.]

Passo 11

Escrevo a decomposição final (substituindo as constantes):
\frac{x^{3}-x+1}{x^{2}(x-1)^{3}} = \frac{-2}{x} + \frac{-1}{x^{2}} + \frac{2}{x-1} + \frac{0}{(x-1)^{2}} + \frac{1}{(x-1)^{3}}.
Ou, simplificando:
\frac{x^{3}-x+1}{x^{2}(x-1)^{3}} = -\frac{2}{x} -\frac{1}{x^{2}} + \frac{2}{x-1} + \frac{1}{(x-1)^{3}}.

Passo 12

Integramos termo a termo. Relembre as regras usadas (pequena aulinha):
  • Regra do logaritmo: \displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C.
  • Regra da potência: \displaystyle \int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C para n\neq -1. Assim, \displaystyle \int x^{-2}\,dx = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x}.
  • Com mudança linear u=x-1 vale o mesmo (ex.: \int \frac{1}{x-1}\,dx = \ln|x-1| + C).
Agora cada termo:
\int -\frac{2}{x}\,dx = -2\ln|x|.
\int -\frac{1}{x^{2}}\,dx = \int -x^{-2}\,dx = -\left(-\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{x}.
\int \frac{2}{x-1}\,dx = 2\ln|x-1|.
\int \frac{1}{(x-1)^{3}}\,dx = \int (x-1)^{-3}\,dx = \frac{(x-1)^{-2}}{-2} = -\frac{1}{2(x-1)^{2}}.

Passo 13

Somando todas as primitivas e incluindo a constante de integração C, obtemos:
\boxed{-2\ln|x| + \frac{1}{x} + 2\ln|x-1| - \frac{1}{2(x-1)^{2}} + C.}

Resposta

-2\ln|x|+\dfrac{1}{x}+2\ln|x-1|-\dfrac{1}{2(x-1)^{2}}+C

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