Não há outra condição (é uma integral indefinida). Vamos resolver encontrando uma antiderivada explícita.
Passo 2
Escolha do método: fracionamento em frações parciais. Explico por que:
A integranda é uma função racional (quociente de polinômios).
Grau do numerador é 3 e grau do denominador é 2+3=5; como 3<5, já é uma fração própria, então aplicamos diretamente frações parciais.
O denominador fatoriza em fatores lineares repetidos \;x^{2} e (x-1)^{3}, então a forma padrão de decomposição é conhecida (vou mostrar no passo seguinte).
Passo 3
Forma geral da decomposição em frações parciais para fatores repetidos:
para \dfrac{x^{3}-x+1}{x^{2}(x-1)^{3}} assumimos
onde A,B,C,D,E são constantes que vamos determinar. Aqui cada potência do fator gerou um termo independente — essa é a regra para fatores lineares repetidos.
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados por x^{2}(x-1)^{3} para obter uma identidade polinomial: