Um móvel se desloca em linha reta obedecendo a função horária
(no SI), determine:
a velocidade média entre
e
, sabendo que
.
a velocidade média entre
Passo 1
O que o enunciado pede e quais dados temos:
- Pede a velocidade média no intervalo de tempo entre
e . - Nos é dada a velocidade instantânea como função do tempo:
(unidades do SI). - Nos é dada a posição inicial
. - Informação importante: a velocidade média é definida em termos do deslocamento (variação da posição) num intervalo de tempo.
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (a “aula rápida” antes de calcular):
- Velocidade média em um intervalo de tempo
é a variação da posição dividida pelo intervalo de tempo:
- Aqui
é a função posição (em metros), é o tempo (em segundos), é o deslocamento (em metros) e é o tempo decorrido (em segundos). A unidade de será metros por segundo ( ). - Para aplicar essa fórmula precisamos conhecer
e . Temos , mas não temos diretamente. Como nos foi dada , usamos que velocidade é a derivada da posição: . Então obtemos integrando .
Passo 3
Integração de
para obter
(passo a passo do cálculo):
- Sabemos que
. - Para achar
tomamos uma antiderivada de :
- Integramos termo a termo:
- Somando e adicionando a constante de integração
, obtemos
Passo 4
Determinar a constante
usando a condição inicial e calcular
:
- Usamos a condição
. Substituindo em :
- Como
, temos . Logo
- Agora calculamos
:
- O deslocamento no intervalo é
Passo 5
Calcular a velocidade média e interpretar o resultado:
- Aplicando a fórmula da velocidade média no intervalo
:
- Interpretação física rápida e motivadora: a posição final é igual à posição inicial, então o deslocamento total é zero e a velocidade média é zero. Isso não significa que o móvel não tenha se movido entre
e s — ele pode ter ido pra frente e pra trás — mas, no balanço total, voltou ao mesmo ponto, resultando em velocidade média nula.