Um móvel se desloca em linha reta obedecendo a função horária v(t)=3 t^{2}-4 t (no SI), determine:
a velocidade média entre t=2 \mathrm{~s} e t=0 \mathrm{~s}, sabendo que x(0)=2 \mathrm{~m}.

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados temos:
  • Pede a velocidade média no intervalo de tempo entre t=0\\ \mathrm{s} e t=2\\ \mathrm{s}.
  • Nos é dada a velocidade instantânea como função do tempo: v(t)=3t^{2}-4t (unidades do SI).
  • Nos é dada a posição inicial x(0)=2\\ \mathrm{m}.
  • Informação importante: a velocidade média é definida em termos do deslocamento (variação da posição) num intervalo de tempo.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (a “aula rápida” antes de calcular):
  • Velocidade média em um intervalo de tempo [t_1,t_2] é a variação da posição dividida pelo intervalo de tempo:
\bar v=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{x(t_2)-x(t_1)}{t_2-t_1}.
  • Aqui x(t) é a função posição (em metros), t é o tempo (em segundos), x(t_2)-x(t_1) é o deslocamento (em metros) e t_2-t_1 é o tempo decorrido (em segundos). A unidade de \bar v será metros por segundo ( \text{m/s}).
  • Para aplicar essa fórmula precisamos conhecer x(2) e x(0). Temos x(0), mas não temos x(2) diretamente. Como nos foi dada v(t), usamos que velocidade é a derivada da posição: v(t)=x'(t). Então obtemos x(t) integrando v(t).

Passo 3

Integração de v(t) para obter x(t) (passo a passo do cálculo):
  • Sabemos que v(t)=x'(t)=3t^{2}-4t.
  • Para achar x(t) tomamos uma antiderivada de v(t):
x(t)=\int v(t)\,dt=\int(3t^{2}-4t)\,dt.
  • Integramos termo a termo:
\int 3t^{2}\,dt = 3\cdot\frac{t^{3}}{3}=t^{3},
\int (-4t)\,dt = -4\cdot\frac{t^{2}}{2}=-2t^{2}.
  • Somando e adicionando a constante de integração C, obtemos
x(t)=t^{3}-2t^{2}+C.

Passo 4

Determinar a constante C usando a condição inicial e calcular x(2):
  • Usamos a condição x(0)=2\\ \mathrm{m}. Substituindo t=0 em x(t):
x(0)=0^{3}-2\cdot0^{2}+C=C.
  • Como x(0)=2\\ \mathrm{m}, temos C=2. Logo
x(t)=t^{3}-2t^{2}+2.
  • Agora calculamos x(2):
x(2)=2^{3}-2\cdot2^{2}+2=8-8+2=2\\ \mathrm{m}.
  • O deslocamento no intervalo é
\Delta x = x(2)-x(0)=2-2=0\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Calcular a velocidade média e interpretar o resultado:
  • Aplicando a fórmula da velocidade média no intervalo [0,2]:
\bar v=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{0\\ \mathrm{m}}{2-0\\ \mathrm{s}}=0\\ \mathrm{m/s}.
  • Interpretação física rápida e motivadora: a posição final é igual à posição inicial, então o deslocamento total é zero e a velocidade média é zero. Isso não significa que o móvel não tenha se movido entre 0 e 2 s — ele pode ter ido pra frente e pra trás — mas, no balanço total, voltou ao mesmo ponto, resultando em velocidade média nula.

Resposta

0\\ \mathrm{m/s}

Exercícios relacionados