Calcular as seguintes integrais no retângulo dado.
integral duplaD x^2 y e^x y d A, D=[0,1] times[0,2].

Passo 1

A gente quer calcular a integral dupla integral duplaD x^2y e^xy,dA no retângulo D=[0,1]times[0,2]. O conteúdo é integração dupla pelo Teorema de Fubini e uma substituição adequada para a integral interna.

Passo 2

Pelo Teorema de Fubini escrevemos
integral duplaD x^2y e^xy,dA = integralx=0^1l(integraly=0^2 x^2y e^xy,dyr)dx
Para a integral interna em y, tratamos x como constante e usamos a substituição
u = x y, du = x,dy, y = ux
Então
integral0^2 x^2y e^xy,dy = integralu=0^2x x^2ux e^udux = integral0^2x u e^u,du
Como
integral u e^u,du = (u-1)e^u,
segue
integral0^2x u e^u,du = (2x-1)e^2x - [(0-1)e^0] = (2x-1)e^2x + 1

Passo 3

Agora a integral externa em x fica
integral0^1l[(2x-1)e^2x + 1r]dx = integral0^1(2x-1)e^2x,dx + integral0^11,dx
Para integral(2x-1)e^2xdx podemos usar substituição t=2x (ou partes) e encontramos
integral(2x-1)e^2xdx = (x-1)e^2x + C
Avaliando de 0 a 1 dá 1, e integral0^11,dx=1

Passo 4

Somando as partes, a integral total é 1 + 1 = 2.

Resposta

2

Exercícios relacionados