Determine e esboce a área da região delimitada pelas curvas fornecidas. Decida se é preferível integrar em relação a x ou a y.
e
Passo 1
O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas
e
. O tópico é cálculo de área entre curvas por integração. Como ambas as equações estão na forma
, é claramente mais conveniente integrar em
. Para esboçar, marcamos no plano cartesiano a reta diagonal que passa por
e a cúbica que também passa por esses pontos, e sombrearemos o “lens” formado entre elas de
a
.
Passo 2
Determinamos os pontos de interseção resolvendo
que leva a
portanto
com
correspondente igual a
.
Passo 3
Para montar a integral, precisamos saber qual curva fica acima da outra em cada trecho:
- Em
toma-se um valor de teste, por exemplo : e , logo . - Em
toma-se : e , logo é falso, ou seja, .
Assim, em
a cúbica está acima da reta, e em
a reta está acima da cúbica.
Passo 4
A área
é dada pela soma das integrais das diferenças entre as funções nos dois intervalos:
Passo 5
Calculando cada parte:
então
Analogamente,
Somando, obtém-se
Resposta
A área da região é
, e é preferível integrar em
pois ambas as curvas estão explicitamente dadas como
.