Determine e esboce a área da região delimitada pelas curvas fornecidas. Decida se é preferível integrar em relação a x ou a y.
y=x^3 e y=x

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas y = x^3 e y = x. O tópico é cálculo de área entre curvas por integração. Como ambas as equações estão na forma y = f(x), é claramente mais conveniente integrar em x. Para esboçar, marcamos no plano cartesiano a reta diagonal que passa por (-1,-1),(0,0),(1,1) e a cúbica que também passa por esses pontos, e sombrearemos o “lens” formado entre elas de x=-1 a x=1.

Passo 2

Determinamos os pontos de interseção resolvendo
x^3 = x
que leva a
x(x^2 - 1) = 0
portanto
x = -1, x = 0, x = 1,
com y correspondente igual a -1,0,1.

Passo 3

Para montar a integral, precisamos saber qual curva fica acima da outra em cada trecho:
  • Em xin[-1,0] toma-se um valor de teste, por exemplo x=-tfrac12: x^3 = -tfrac18 e x = -tfrac12, logo x^3 > x.
  • Em xin[0,1] toma-se x=tfrac12: x^3 = tfrac18 e x = tfrac12, logo x < x^3 é falso, ou seja, x > x^3.
Assim, em [-1,0] a cúbica está acima da reta, e em [0,1] a reta está acima da cúbica.

Passo 4

A área A é dada pela soma das integrais das diferenças entre as funções nos dois intervalos:
A = integral-1^0l(x^3 - xr),dx ;+;integral0^1l(x - x^3r),dx

Passo 5

Calculando cada parte:
integral x^3 - x ,dx = x^44 - x^22,
então
integral-1^0l(x^3 - xr),dx = l[x^44 - x^22r]-1^0 = l(0 - 0r) - l(14 - 12r) = 14
Analogamente,
integral0^1l(x - x^3r),dx = l[x^22 - x^44r]0^1 = 12 - 14 = 14
Somando, obtém-se
A = 14 + 14 = 12

Resposta

A área da região é tfrac12, e é preferível integrar em x pois ambas as curvas estão explicitamente dadas como y=f(x).

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