Esboce a região de integração e calcule a integral.
integral0^1 integral0^y^2 3 y^3 e^x y d x d y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral dupla:
integral0^1 integral0^y^2 3 y^3 e^x y , dx , dy
O exercício pede para a gente esboçar a região de integração e depois calcular essa integral. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais múltiplas e como visualizar a área em que estamos integrando.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração. A integral está organizada da seguinte forma:
  • y varia de 0 a 1.
  • Para cada valor de y, x varia de 0 a y^2 .
Então, para esboçar a região, pensamos no plano xy:
  • No eixo y, vamos de 0 a 1.
  • Para cada y, o x começa em 0 e vai até y^2 .
Isso significa que a região de integração está abaixo da parábola x = y^2 e acima do eixo x, entre y = 0 e y = 1.

Passo 3

Vamos desenhar isso! Imagine um gráfico onde:
  1. y vai de 0 a 1.
  2. A curva x = y^2 é uma parábola que abre para a direita.
  3. A região de integração é a área entre x = 0 e x = y^{2}, de y = 0 a y = 1.
Região de Integração
(Imagine aqui um desenho da região descrita)

Passo 4

Agora que entendemos a região, vamos calcular a integral. A integral dupla pode ser escrita como:
integral0^1 ( integral0^y^2 3 y^3 e^x y , dx ) dy
Primeiro, vamos resolver a integral interna em relação a x.

Passo 5

Vamos focar na integral interna:
integral0^y^2 3 y^3 e^x y , dx
Aqui, y é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a x. A integral de e^x y em relação a x é 1y e^x y .
Então,
integral 3 y^3 e^x y , dx = 3 y^3 cdot 1y e^x y + C = 3 y^2 e^x y + C
Agora, aplicamos os limites de x de 0 a y^2 :
3 y^2 e^y^2 y - 3 y^2 e^0 = 3 y^2 e^y^3 - 3 y^2

Passo 6

Agora, substituímos a expressão obtida na integral externa:
integral0^1 ( 3 y^2 e^y^3 - 3 y^2 ) dy
Podemos separar essa integral em duas partes:
3 integral0^1 y^2 e^y^3 , dy - 3 integral0^1 y^2 , dy

Passo 7

Vamos resolver cada parte:
  1. Primeira integral: 3 integral0^1 y^2 e^y^3 , dy
    Aqui, fazemos uma substituição:
    • Deixe u = y^3 , então du = 3 y^2 dy
    • Reescrevendo a integral: integral e^u , du = e^u + C
    • Voltando para y: e^y^3
    Portanto, a primeira parte fica:
3 cdot 13 ( e^1^3 - e^0 ) = e^1 - 1
  1. Segunda integral: -3 integral0^1 y^2 , dy
    A integral de y^2 é y^33 :
-3 ( 1^33 - 0^33 ) = -3 cdot 13 = -1

Passo 8

Agora, juntando as duas partes:
(e^1 - 1) - 1 = e - 2

Resposta

O valor da integral é e - 2 .

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