Esboce a região de integração e calcule a integral.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral dupla:
O exercício pede para a gente esboçar a região de integração e depois calcular essa integral. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais múltiplas e como visualizar a área em que estamos integrando.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de integração. A integral está organizada da seguinte forma:
- y varia de 0 a 1.
- Para cada valor de y, x varia de 0 a
.
Então, para esboçar a região, pensamos no plano xy:
- No eixo y, vamos de 0 a 1.
- Para cada y, o x começa em 0 e vai até
.
Isso significa que a região de integração está abaixo da parábola
e acima do eixo x, entre y = 0 e y = 1.
Passo 3
Vamos desenhar isso! Imagine um gráfico onde:
- y vai de 0 a 1.
- A curva
é uma parábola que abre para a direita. - A região de integração é a área entre x = 0 e x = y^{2}, de y = 0 a y = 1.

(Imagine aqui um desenho da região descrita)
Passo 4
Agora que entendemos a região, vamos calcular a integral. A integral dupla pode ser escrita como:
Primeiro, vamos resolver a integral interna em relação a x.
Passo 5
Vamos focar na integral interna:
Aqui, y é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a x. A integral de
em relação a x é
.
Então,
Agora, aplicamos os limites de x de 0 a
:
Passo 6
Agora, substituímos a expressão obtida na integral externa:
Podemos separar essa integral em duas partes:
Passo 7
Vamos resolver cada parte:
-
Primeira integral:Aqui, fazemos uma substituição:
- Deixe
, então - Reescrevendo a integral:
- Voltando para y:
Portanto, a primeira parte fica: - Deixe
-
Segunda integral:A integral de
é :
Passo 8
Agora, juntando as duas partes:
Resposta
O valor da integral é
.