Use o método das camadas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas em torno do eixo y.
y=1 / x, y=0, x=1, x=4

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas ,y=tfrac1x, ,y=0, ,x=1 e ,x=4 em torno do eixo y. O conteúdo aqui é o método das camadas cilíndricas para cálculo de volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

No método das cascas cilíndricas, consideramos uma fatia vertical em x de espessura dx. Essa fatia gera uma casca de raio
r = x
e altura
h(x) = 1x - 0 = 1x

Passo 3

O volume diferencial da casca é dado por
dV = l(circunferênciar)timesl(a<urar)times dx = 2pi,r,h(x),dx = 2pi,xcdot1x,dx = 2pi,dx ê
Integramos de x=1 a x=4:
V = integral1^4 dV = 2pi integral1^4 1,dx

Passo 4

Calculando a integral:
V = 2pi l[xr]1^4 = 2pi (4-1) = 6pi

Resposta

6pi

Exercícios relacionados