Calcular as seguintes integrais utilizando o método indicado.
I=\int \frac{\sqrt{9-x^{2}}}{2 x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
I = \int \frac{\sqrt{9 - x^{2}}}{2\,x^{2}} \,dx
usando substituição trigonométrica. O conteúdo é cálculo de integrais envolvendo raízes do tipo \sqrt{a^{2}-x^{2}}. Para resolver, vamos usar a substituição
x = 3 \sin\theta,
pois isso transforma \sqrt{9 - x^{2}} em uma expressão trigonométrica simples.

Passo 2

Aplicamos x = 3\sin\theta. Então
dx = 3\cos\theta\,d\theta,
e também
\sqrt{9 - x^{2}} = \sqrt{9 - 9\sin^{2}\theta} = 3\cos\theta.
Substituindo na integral obtemos
I = \int \frac{3\cos\theta}{2\,(3\sin\theta)^{2}} \;\bigl(3\cos\theta\,d\theta\bigr).

Passo 3

No numerador temos 3\cos\theta\cdot 3\cos\theta=9\cos^{2}\theta e no denominador 2\cdot9\sin^{2}\theta=18\sin^{2}\theta. Logo
I = \int \frac{9\cos^{2}\theta}{18\,\sin^{2}\theta}\,d\theta = \int \frac{1}{2}\,\frac{\cos^{2}\theta}{\sin^{2}\theta}\,d\theta = \frac{1}{2}\int \cot^{2}\theta\,d\theta.
Usamos a identidade \cot^{2}\theta = \csc^{2}\theta - 1, então
I = \frac{1}{2} \int (\csc^{2}\theta - 1)\,d\theta.

Passo 4

Integramos termo a termo:
\int \csc^{2}\theta\,d\theta = -\cot\theta, \qquad \int 1\,d\theta = \theta.
Portanto
I = \frac{1}{2}\bigl(-\cot\theta - \theta\bigr) + C = -\frac{1}{2}\cot\theta - \frac{1}{2}\,\theta + C.

Passo 5

Só resta voltar para x. Como x=3\sin\theta, temos
\sin\theta = \frac{x}{3}, \quad \cos\theta = \frac{\sqrt{9 - x^{2}}}{3},
então
\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{\sqrt{9 - x^{2}}/3}{x/3} = \frac{\sqrt{9 - x^{2}}}{x},
e
\theta = \arcsin\!\bigl(\tfrac{x}{3}\bigr).
Substituindo em I obtemos
I = -\frac{1}{2}\,\frac{\sqrt{9 - x^{2}}}{x} - \frac{1}{2}\,\arcsin\!\bigl(\tfrac{x}{3}\bigr) + C.

Resposta

I = -\frac{\sqrt{9 - x^{2}}}{2\,x} - \frac{1}{2}\,\arcsin\!\bigl(\tfrac{x}{3}\bigr) + C.

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