Exercício 1. Estude a convergência ou divergência das séries abaixo: Classifiqueas em absoluta ou condicionalmente convergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots(2 n)}{n!}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2\cdot4\cdot6\cdots(2n)}{n!}
Isso envolve séries numéricas e, em particular, vamos usar manipulação do termo geral e o teste da razão para determinar convergência ou divergência.

Passo 2

Observe que o produto dos primeiros n números pares pode ser reescrito como
2\cdot4\cdot6\cdots(2n)=2^n\,(1\cdot2\cdot3\cdots n)=2^n\,n!.
Assim, o termo geral da série é
a_n=\frac{2\cdot4\cdots(2n)}{n!}=\frac{2^n\,n!}{n!}=2^n.

Passo 3

Aplicando o teste da razão, calculamos
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{2^{\,n+1}}{2^n}=2.
Como essa razão é maior que 1, a série diverge.

Passo 4

Não há convergência—nem absoluta nem condicional—pois a série é divergente pelo teste da razão.

Resposta

A série diverge.

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