Exercício 2. Considere a série de potências
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt[3]{n^{2}}(x-3)^{2 n-1}}{3^{2 n+1}}
Determine o raio de convergência desta série. Determine também o intervalo de convergência, isto é, o conjunto (que como vimos é um intervalo) onde a série converge.

Passo 1

O enunciado dá a série de potências centrada em x=3:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt[3]{n^{2}}\, (x-3)^{2n-1}}{3^{2n+1}}
e pede o raio de convergência ® e o intervalo de convergência em x. Para encontrar R, vamos aplicar o teste da razão às parcelas gerais
t_n = \frac{n^{2/3}\,(x-3)^{2n-1}}{3^{2n+1}}.

Passo 2

Aplicamos o teste da razão calculando
\left|\frac{t_{n+1}}{t_n}\right| = \frac{(n+1)^{2/3}\,|x-3|^{2(n+1)-1}\,/\,3^{2(n+1)+1}} {n^{2/3}\,|x-3|^{2n-1}\,/\,3^{2n+1}}.
Simplificando potências de 3 e de |x-3|, obtemos
\left|\frac{t_{n+1}}{t_n}\right| = \frac{(n+1)^{2/3}}{n^{2/3}}\;\frac{|x-3|^2}{3^2} = \bigl(1+\tfrac1n\bigr)^{2/3}\,\frac{|x-3|^2}{9}.
Quando n\to\infty, \bigl(1+\tfrac1n\bigr)^{2/3}\to1, logo
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{t_{n+1}}{t_n}\right| = \frac{|x-3|^2}{9}.

Passo 3

Pelo teste da razão, a série converge se
\frac{|x-3|^2}{9} < 1 \quad\Longrightarrow\quad |x-3|^2 < 9 \quad\Longrightarrow\quad |x-3| < 3.
Portanto o raio de convergência é
R = 3.

Passo 4

Agora testamos os extremos x=3\pm3.
Para x=0: temos x-3=-3, e cada termo vira
t_n = \frac{n^{2/3}\,(-3)^{2n-1}}{3^{2n+1}} = -\,\frac{n^{2/3}}{9}.
Logo a série em x=0 é -\tfrac1{9}\sum n^{2/3}, que diverge porque 2/3\le1.
Para x=6: temos x-3=3, e
t_n = \frac{n^{2/3}\,3^{2n-1}}{3^{2n+1}} = \frac{n^{2/3}}{9},
que também diverge pelo mesmo motivo.

Resposta

O raio de convergência é R=3 e o intervalo de convergência é
(0,6).

Exercícios relacionados