Exercício 2. Considere a série de potências
Determine o raio de convergência desta série. Determine também o intervalo de convergência, isto é, o conjunto (que como vimos é um intervalo) onde a série converge.
Passo 1
O enunciado dá a série de potências centrada em
:
e pede o raio de convergência ® e o intervalo de convergência em
. Para encontrar
, vamos aplicar o teste da razão às parcelas gerais
Passo 2
Aplicamos o teste da razão calculando
Simplificando potências de
e de
, obtemos
Quando
,
, logo
Passo 3
Pelo teste da razão, a série converge se
Portanto o raio de convergência é
Passo 4
Agora testamos os extremos
.
Para
: temos
, e cada termo vira
Logo a série em
é
, que diverge porque
.
Para
: temos
, e
que também diverge pelo mesmo motivo.
Resposta
O raio de convergência é
e o intervalo de convergência é